4.2. Математическая модель пространственного фильтра

Запишем дискретную модель уравнений (4.1)-(4.4). Схема дискретизации по пространственным координатам приведена на рис.4.3

(в рассматриваемом случае выберем Δz₁= Δz₂= Δz).

Рис.4.3.Схема дискретизации

Дискретная модель уравнений (4.1)-(4.4) может быть представлена в виде

(4.15)

где: n - число точек дискретизации по оси Х;

Δх - шаг дискретизации по оси Х;

Δz - шаг дискретизации по оси Z.

Из граничных условий (4.4), (4.3)

,

,

Преобразуя (3.15), получим

,

или

. (4.16)

Запишем (4.16) в матричном виде

D×X=U. (4.17)

Преобразуя (4.17), придем к следующему результату

X=D^-1×U, (4.18)

где , (4.19) X= , U=-1/∆Z·, (4.20)

, , , ,

и определяются с учетом граничных условий (в рассматриваемом случае, в соответствии граничными условиями (4.2), они равны нулю).

Матрица D^-1 описывает дискретную модель одномерного пространственного фильтра. Этот пространственный фильтр, построенный для фиксированных значений А, выделяет из вектора входного воздействия U дискретные аналоги пространственных мод, для которых Y_i² =1/ А (выделяет магистрали передачи информации).

4.3. Математическая модель распределенного сканера для двумерного входного воздействия

Исследуем характеристики распределенного объекта, математическая модель которого описывается уравнением

, (4.21)

( 0<z<Z_L, 0<x<X_L ,0<y<Y_L),

где А – заданное число, x,y,z – пространственные координаты, τ время,

Т(x,y,z,)-фазовая переменная, X_L,Y_L,Z_Lзаданные значения.

Граничные условия заданы соотношениями

,

, (4.22)

,

.

Рис. 4.4. Схема распределенного объекта

.

Положим, что входное воздействие, зависящее от двух пространственных координат, представлено в виде ряда Фурье по пространственным координатам

, (4.23)

В_i,j(х,у)= ( функции В_i,j(х,у) записываются с учетом граничных условий (3.22). Если в граничных условиях (3.22) соотношения

,

заменить на соотношения

,

то функции В_i,j(х,у)= ),

, , (4.24)

заданные функции (они несут информацию о полезном сигнале).

Требуется определить

Реакцию объекта на каждую моду входного воздействия будем искать в виде:

, (4.25)

где H_i,j-функции, подлежащие определению.

Подставляя (4.25) в (4.21) и преобразуя, получим

,

или (4.26)

Функцию будем искать в виде:

(4.27)

где , B_1,i,j , B_2,i,j -функции, определяемые из граничных условий.

Подставляя (4.27) в (4.25) и далее в (4.22) , придем к следующему соотношению

, или

. (4.28)

Подставляя (4.27) в (4.25) и далее в (4.22) с учетом (4.23), получим

Значение B_1,i,j определяется из следующего соотношения

(4.29)

Подставляя (4.29) в (4.27) с учетом (4.28) и далее в (4.25), для получим

,

где .

Функция выхода рассматриваемого объекта может быть определена из следующего соотношения

Коэффициент передачи по каждой пространственной моде может быть записан в виде

(4.30)

Полагая и изменяя значение G , определим коэффициент передачи рассматриваемого объекта. График коэффициента передачи будет аналогичен графику, приведенному на рис.4.2. При этом abs(K_i,j)→∞ в точках G=²_i+_j².

Уравнения (4.21)-(4.22) описывают модель пространственного сканера для двумерного входного воздействия.