3.5. Интегральные оценки качества

Интегральные оценки качества имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности.

Простейшей интегральной оценкой может служить величина:

, (3.15)

где x(t) – отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения переходного процесса [6].

В устойчивой системе при и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически I₁ – это площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.

Для вычисления интеграла (3.15) нет необходимости в нахождении х(t), так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа: [3].

Отсюда следует, что интеграл (3.15) может быть найден посредством предельного перехода :

. (3.16)

Неудобством интегральной оценки вида (3.15) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения х. Если же имеет место колебательный процесс, то при вычислении интеграла площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебениям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (3.15) нецелесообразно. Поэтому предлагается другая оценка:

, (3.17)

т.е. сумма абсолютных величин всех площадей по кривой переходного процесса. Существенным недостатком является то, что вычисление ее по коэффициентам исходного уравнения затруднительно [6].

В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке, называемой иногда «квадратичной площадью» регулирования:

, (3.18)

которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной и колебательной) [3].

Интегральные критерии качества являются косвенными, поскольку позволяют судить о качестве регулирования, не имея в распоряжении кривой переходного процесса. Интегральные оценки дают единый числовой критерий качества, однако их недостатком является то, что форма кривой переходного процесса в этом случае не ограничивается. Оценки учитывают только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывают близость системы к колебательной границе устойчивости.

Применяется также другой вид интегральной оценки качества, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид:

(3.19)

где Т – некоторая постоянная времени.

3.6. Исследование на устойчивость и расчет критериев качества сар

Для полученной в главе 1 передаточной функции системы автомати-ческого регулирования в полиномиальной форме (формула (1.71))

коэффициенты характеристического уравнения

имеют положительные значения, а, значит, он требует дополнительного исследования на устойчивость с помощью критерия Гурвица.

Как описано в разделе 3.2, в соответствии с выражением (3.6) составим квадратную матрицу коэффициентов, содержащую 7 строк и 7 столбцов, и находим из нее все определители Гурвица.

Определитель Гурвица 7-го порядка будет выглядеть следующим образом:

Аналогично составляются определители низших порядков: 6-го порядка = 5791849,8 > 0; 5-го порядка = 305185,44 > 0; 4-го порядка = 13227,88 > 0.

Определитель Гурвица 3-го порядка:

Определитель Гурвица 2-го порядка:

.

Определитель Гурвица 1-го порядка:

Так как все определители Гурвица положительны, то можно сделать вывод, что данная система устойчива. Результат работы программы «SAU» представлен на рис.3.6.

Рис.3.6. Исследование САР на устойчивость по критерию Гурвица

К основным критериям качества, рассмотренных в разделах 3.1-3.5, относятся:

1) Интегральная оценка качества регулирования САР I₁;

2) Квадратичная интегральная оценка качества I;

3) Время регулирования t_p;

4) Перерегулирование ;

5) Степень колебательности m;

6) Степень затухания ;

7) Статическая ошибка ;

8) Максимальная динамическая ошибка .

Для их нахождения используются выражения:

; ; ; . (3.20)

Для численного определения критериев качества используется кривая переходного процесса и комплексная плоскость корней.

Для рассмотренной САР получены следующие численные значения основных критериев качества: I₁ = 7,573; I_кв = 5,608; t_p = 22,1;  = 1,1%; m =0,112;  = 0,505; ; , что демонстрируется результатом работы программы, приведенным на рис.3.7.

Рис.3.7. Критерии качества исследуемой САР

По полученным значениям можно сделать следующие выводы:

1. Интегральные оценки имеют конечные числовые значения, следовательно, система устойчива [10];

2. Система является статической, так как есть статическая ошибка;

3. Степень колебательности m=0,112, а степень затухания ; это свидетельствует о том, что процесс колебательный;

4. Величина перерегулирования = 1,1% стремится к нулю, а при =0 процесс является монотонным. Поэтому можно сделать вывод о том, что процесс стремится к монотонному, но наличие комплексно-сопряженных корней приводит к присутствию колебаний.