1.3. Метод составления определителя

В данном методе для задания САР используется система уравнений (1.8–1.19), в которой сигналы системы представлены в виде , где n – число сигналов системы; – передаточные функции, пронумерованные таким образом, что номер передаточной функции соответствует номеру выхода.

Суть данного метода заключается в том, что по исходной нормализованной системе уравнений составляется определитель. Этот определитель будет являться знаменателем главной передаточной функции [11]. При его расчете используется метод приведения к треугольному виду [24]. Данный метод заключается в том, что искусственно зануляются элементы либо под, либо над главной диагональю (в данном случае последнее является более предпочтительным). Зануление начинается от крайнего правого столбца до тех пор, пока не будет получен определитель такого порядка, который можно легко рассчитать (например, 3х3).

Если уравнения приводить к нормальному виду, то они будут выглядеть следующим образом:

В общем виде они могут быть записаны, как:

, где i – номер выхода.

Тогда получим систему уравнений:

Определитель матрицы (1.58) дает знаменатель главной передаточной функции САР, заданной уравнениями (1.46)-(1.57) [11]. Он представлен в таблице 1.1 (пустые клетки соответствуют нулевым значениям элементов).

Таблица 1.1

Главный определитель системы уравнений

j= i=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1
2	–1	1											1
3		–W3	1
4			–1	1								1
5				–W5	1
6					–1	1					1
7						–W7	1
8							–1	1		1
9								–W9	1
10									–W10	1
11									–W11		1
12							–W12					1
13								–W13					1

Если в столбце j имеется ненулевой элемент, и он находится в строке i, тогда его можно записать в виде a_ij.Для зануления a_ij необходимо произвести следующую операцию:

(1.59)

Операция (1.59) осуществляется для .

В данном примере:

1. Зануляем столбец 13 (таблица 1.2). Для к=j , т.е. зануление имеет место. Находим , . Коэффициент . Если элемент вычитаемой строки «0» и в диагонали «1», то изменений в столбце не будет. В данном случае, единственным элементом, который изменится, будет элемент Вставляем полученное значение в матрицу, а именно в ячейку в строке 2 и столбце 8.

2. Аналогично зануляем столбцы 12, 11, 10:

(1.60)

аблица 1.2

Переход к определителю 99

j= i=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1
2	–1	1						W13					1
3		–W3	1
4			–1	1			W12					1
5				–W5	1
6					–1	1			W11		1
7						–W7	1
8							–1	1	W10	1
9								–W9	1
10									–W10	1
11									–W11		1
12							–W12					1
13								–W13					1

Получаем матрицу 99 (таблица 1.3).

Таблица 1.3

Переход к определителю 66

j= i=	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	–1 –K	1 K				W7,13	W13	W13
3		–W3	1
4			–1	1		W7,12	W12
5				–W5	1
6					–1 –K	1 K M	W9,11	W9,11	W11
7						–W7	1
8							–1	1 K	W10
9								–W9	1

3. . (1.61)

Принимаем выражение за коэффициент K.

4. . При занулении ненулевых элементов в столбцах необходимо домножить все ненулевые элементы, находящиеся в их строках, на коэффициент в диагонали, в данном случае, на K: , .

Отметим, что при вычислениях по восьмому столбцу домножение на К осуществлялось дважды (2 и 6 строки). В результате значение определителя выросло в К² раз. В то же время элемент главной диагонали . Так как определитель после приведения его к треугольному виду находится, как произведение элементов главной диагонали, то оставшийся определитель размерностью 77 в раз больше искомого. Значит, при вычислении определителя необходимо учесть этот коэффициент, т.е. определитель должен быть уменьшен в K раз. Найдем

, (1.62)

домножим ненулевые элементы в строке 6 на коэффициент K:

; ; ;

;.

Принимаем это выражение за коэффициент M. Получаем матрицу 66 (таблица 1.4).

Таблица 1.4

Определитель 66

j= i=	1	2	3	4	5	6
1	1
2	–K –KM –KMN	K KM KMN	KMW5,7,13	KW5,7,13	KW7,13	W7,13
3		–W3	1
4			–1 –M	1 M N	KW7,12	W7,12
5				–W5	1
6					–K	M

5. .

Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 2, на коэффициент M: (, ).

6. .

Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 4, на коэффициент M: (, ). Тогда при вычислении определителя он должен быть уменьшен в M раз.

7. .

8.

.

Принимаем это выражение за коэффициент N.

9. .

Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строке 2, на коэффициент N (, ).

10. Получив матрицу 33 (таблица 1.5), находим ее определитель:

, (1.63)

.(1.64)

Таблица 1.5

Определитель 33

j= i=	1	2	3
1	1
2	–KMN	KMN	KMW5,7,13
3		–W3	1

11. При вычислении знаменателя необходимо определитель уменьшить в К·М раз:

(1.65)

12. Для того, чтобы рассчитать числитель передаточной функции, столбец, соответствующий номеру выхода, зануляется, а единственная единица заносится в строку, соответствующую номеру входа [12]. Далее расчет определителя осуществляется аналогичным образом.

Так для выхода 9, для того чтобы избавиться от нуля в главной диагонали (), суммируем к строке, соответствующей номеру выхода (9), строку, соответствующую номеру входа (1). Далее расчет определителя осуществляется аналогичным образом. Результат является числителем главной передаточной функции системы: .

Таблица 1.6

Побочный определитель системы уравнений

j= i=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1 0		W5,7,9	W5,7,9	W7,9	W7,9	W9	W9	1
2	–1 –L	1 L	W5,7,13	W5,7,13	W7,13	W7,13	W13	W13	0				1
3		–W3	1						0
4			–1	1 L	W7,12	W7,12	W12		0			1
5				–W5	1				0
6					–1	1			0		1 0
7						–W7	1		0
8							–1	1	0	1 0
9	0 1							–W9	0 1
10									0	1
11									0		1
12							–W12		0			1
13								–W13	0				1

12.1. ; . (1.66)

12.2. Из строки 6 вычитаем строку 11, получаем: .

12.3. Из строки 8 вычитаем строку 10, получаем: .

12.4. ; .

12.5. ; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Принимаем это выражение за коэффициент L. При вычислении числителя определитель должен быть уменьшен в L раз.

Таблица 1.7

Определитель 33 для определения числителя передаточной функции

j= i=	1	2	3
1			W5,7,9
2	–L	L	W5,7,13
3		–W3	1

12.6. ;

.

Домножаем ненулевые элементы, находящиеся в строках 1 и 2 на коэффициент L (; ). При вычислении числителя необходимо определитель уменьшить в L раз:

. (1.67)

Передаточная функция системы:

.(1.68)