40.Сравнение средних двух нормальных выборок.

Критерий Стьюдента.

Пусть имеется 2 выборки с объемами n₁ и n₂, распределенные по нормальному закону. X~N(а₁,₁), Y~N(а₂,₂).

Проверим гипотезу H₀ о равенстве матожиданий.H₀:a₁=a₂; H₀:a₁a₂

Несмещенной состоятельной оценкой матожидания является выборочная средняя. H₀:

Поэтому H₀ можно сформулировать, что средние равны.

Средние сравниваются путем вычисления их разности и построения случайных величин T=, ) – ошибка разности средних.

В данной задаче можно представить 4 случая.

1. и известны.

2. и известны.

3. и неизвестны.

4. и неизвестны.

1. T=,

В этом случае случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение.T~N(0,1)

2. T=~N(0,1)

Тогда проверка H₀ осуществляется следующим образом: вычисляются наблюдаемое значение критерия, по таблице нормального распределения находят Zкр(). Если |Tнабл|> Zкр(), то H0 отвергаем и принимаем конкуренцию, следовательно средние значения в группах различаются равномерно (есть отклик на воздействие).

3. Если неизвестно, то вместо них нужно подставить оценки

=

Наблюдаемое значение критерия T=.

В этом случае случайная величина T имеет распределение Стьюдента с (n₁+n₂-2) числом степеней свободы. T_n~T(n₁+n₂-2). Проверка гипотезы осуществляется с использованием таблиц распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (n₁+n₂-2). T кр(, n₁+n₂-2). Если |Tн|>|Tкр|, то H₀ отвергаем и принимает конкурирующую гипотезу, следовательно средние в группах различаются достоверно.

Замечание 1. Критерий Стьюдента применяется, когда n>30.

Замечание 2. Критерий Стьюдента является устойчивым к нарушению нормального распределения изучаемых выборок. В этом случае необходимо только иметь запас уровня значимости.

Если бы мы могли отвергнуть H₀ при =0.001, то можно согласиться со следующими выводами (есть отклик на воздействие).

4. В этом случае наблюдаемое значение критерия вычисляется по той же формуле, что и в пункте 3, однако точное распределение этой случайной величины указать нельзя. Можно лишь сказать, что при n₁, n₂ эта случайная величина будет стремиться к распределению Стьюдента с числом степеней свободы

K= ()²/-

41. Дисперсионный анализ.

Часто возникает задача в ср-и законов нормального распределения в m группах

H₀:F₁(x)=…=F_m(x). Например, поступило задание сравнить успеваемость студентов 4 специальностей. Сравнение основывается на вычислении дисперсий. Сравнивают дисперсии, обусловленные влиянием факторов, и дисперсий, обусловленных влиянием случайных величин. Поэтому называется дисперсионный анализ. Если 1 дисперсия достоверно больше 2 дисперсии, то делают вывод о различии функции распределения в группах.

Рассмотрим сначала однофакторный дискретный анализ, т.е. имеется m групп однородных объектов и изучается влияние на них одного фактора. Например, изучаемый признак – успеваемость, а фактор специальность.

Предположим, что каждая группа имеет нормальное распределение

X_i~N(0,1), i=

Тогда нулевую гипотезу формулируют так H0:a1=…am

Т.к. несмещенной остается ошибкой мат ожидания выборочной средней, то

При конкурирующей гипотезе H₁ не все средние равны между собой.

Пусть объемы в группах одинаковы

Гр\N	1	2	…	n
1	X11	X12	…	X1n
2	X21	X22	…	X2n
…	…	…	…	…	…
m	X31	X32	…	X3n

Средние сравнивают между собой. Пусть специальность не влияет на успеваемость.

; ; -общая средняя.

Разложим общую сумму квадратов отклонений на факторную и остаточную

-остаточная сумма квадратов отклонений, она обусловлена влиянием случайных величин. Характеризует рассеяние внутри группы.

-факторная сумма квадратов отклонений. Характеризует рассеяние между группами.

Т.о. _. Построим дисперсию по каждой из этих сумм

Для сравнения факторных и остаточных дисперсий построим их математического ожидания.

Для справедливости H₀ F=0 и чем больше F значение отличное от нуля, тем больше факторная дисперсия. Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

1. Вычисляем наблюдаемое значение критерия

2. По таблице критических точек распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (m-1) и (mn-m) находим Fкр.

3. если F_набл < Fкр., то говорят, что нет основания отвергнуть H₀. Следовательно средние в группах различаются недостоверно (случайно). – нет отклика на воздействие. если F_набл > Fкр., то H₀ . отвергается и принимается H₁ , следовательно средние в группах различаются достоверно. – есть отклик на воздействие.

Замечание 1. Если F_набл <1, то сразу H₀ принимается.

Замечание 2. Пусть объемы в группах неодинаковы. Значит число степеней свободы остаточной дисперсии N-m.

Замечание 3. Если H₀ отвергается, то не все средние в группах равны между собой. При этом часто интересует в каких именно группах есть различия. Если число m невелико, то это можно установить с помощью критерия Стьюдента, сделав C попарных сравнений средних. В стандартных компьютерных программах реализовано процедура попарного сравнения. Если выборочные данные X_i не соответствуют нормальному распределению, то применение дисперсионного анализа может привести к ошибочным выводам. В этом случае необходимо применить непараметрический дисперсионный анализ.