- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •30. Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном.
- •35 Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •40.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •41. Дисперсионный анализ.
- •42. Парная регрессия.
- •43. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
Для теории вероятности большую роль играют вероятности, которые близки либо к 0, либо к 1. Особую роль при этом играют случайные величины, которые представляют собой сумму большого количества случайных величин.
Последовательность случайных величин 1, 2 и т.д. сходится к по вероятности, если для ε>0
Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа , не больше чем, D(x)/ 2.(дисперсия должна быть ограничена и )
Докажем, это неравенство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности P(X)
Неравенство Чебышева часто используется для противоположного события
23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Теорема Чебышева: Если X1, X2,…,Xn – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется
Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
. Найдем матожидание
И дисперсию
Следовательно – дисперсия конечная. Тогда к применим неравенство Чебышева
Переходя к пределу получим
А так как вероятность не может быть больше 1, то предел равен 1.
Суть закона больших чисел.
Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу равному среднему арифметическому их матожиданий.
Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.
Пусть - число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо -частота появления события.
Пусть , где - число появления события А в i-ом испытании.
Дисперсия любой величины равна произведению pq, так как p+q=1, то p*q не превышает ¼, и следовательно дисперсии всех величин ограничены числом c=1/4
Применим теорему Чебышева: так как матожидание равно вероятности наступления события.
Так как равна относительной частоте появления события А (m/n)(каждая величина 1, 2, n при появлении события в соответствующем испытании равна 1 и поэтому их суму равна m), то окончательно получим , что и т.д.
24. Центральная предельная теорема.
Пусть - последовательность независимых случайных величин и закон распределения не известен.
ЦПТ – называется набор предположений, которые обеспечивают нормальный закон распределения для суммы этих случайных величин
Обозначим через их сумму.
Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема
Частным случаем ЦПТ является интегральная теорема Муавра-Лапласса.
Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что если речь не идет о редких событиях, то биноминальное распределение стремится к нормальному.
Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин.
Пусть случ величины независимо имеют одинаковые М, D, то к этой последовательности применима ЦПТ.
Суть ЦТП
Если число случайных величин неограниченно растет, то закон распределения их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того по какому закону распределены слагаемые.