- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •30. Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном.
- •35 Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •40.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •41. Дисперсионный анализ.
- •42. Парная регрессия.
- •43. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
3.Аксиоматическое определение вероятности.
В этом случае вероятность определяется как математический объект с определенными свойствами.
Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А с Е поставлено в соответствие единственное число Р (А) такое, что:
1) Р(А)0,
2) для каждой пары несовместных событий А, В с Е имеет место равенство: Р(А ﮞ В) = Р(А) + Р(В),
3) Р(Е) =1.
Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р {А) называется вероятностью события А .
4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
При подсчёта чисел m и n в ТВ используют формулы комбинаторики.
Опр Перестановками называются комбинации одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Опр. Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо их расположением. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:.
Опр Сочетанием называется комбинации, из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:
Свойства сочетаний:
-
т.к.по определению 0!=1.
-
-
Урновая схема.
Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.
.
Эта формула называется гипергеометрическим распределением.
5. Условная вероятность. Независимость событий.
Опр. Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, наз-ся отношение
. (1)
Аналогично, условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, называется
. (2)
Из формул (1) и (2) получим теорему умножения: (3)
Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло.
Распространим теорему умножения на конечное число событий:
Опр. События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий.. (4)
Из (3) и (4) получим: .
Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают .
Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей: .
6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H1…Hn, образующих полную группу: Ø, , тогда .
Так как события и несовместны, то и () и () являются несовместными. Тогда по теореме сложения : .
Применяя теорему умножения к каждому слагаемому, получим формулу полной вероятности:.
События H1, H2,…, Hn часто называют гипотезами. Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло: . По теореме умножения:
, .
Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса: .