Лекция 3 Частотные характеристики разомкнутой системы
Свойства замкнутой САР (устойчивость, показатели качества) можно исследовать с помощью частотных характеристик разомкнутой САР.
Пусть имеем разомкнутую систему:
Частотные характеристики отражают реакцию этой системы на синусоидальное воздействие на входе:
ε(t) = εмаx·sinωt. (10)
Если система линейная, т.е. описывается линейным дифференциальным уравнением (1), то в установившемся режиме выходной сигнал xос(t) тоже будет синусоидальным с той же частотой ω, но сдвинут по фазе на некоторый угол φ, т.е. выходной сигнал: xос(t) = Xмаx·sin(ωt+φ) (11)
Амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость от частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала (рис.6):
A(ω) = Xmax/εmax. (12)
Фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты ω (рис.6).
Рис.6. Амплитудная и фазовая частотные характеристики.
В инженерной практике более удобны логарифмические частотные характеристики.
Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) – это характеристика, получаемая преобразованием A(ω) в логарифмический масштаб по обеим осям: L(ω) = 20 lg A(ω) |дБ| (рис.7).
Логарифмической фазовой характеристикой называется зависимость фазового сдвига φ от lgω (рис.7).
Рис.7. Логарифмические частотные характеристики.
Все эти характеристики можно рассчитать, если известна передаточная функция разомкнутой системы Wрс(p). Если ПФРС неизвестна, то частотные характеристики можно получить экспериментально на реальном объекте.
Расчет частотных характеристик по передаточной функции разомкнутой системы
По заданной передаточной функции разомкнутой системы Wрс(p) частотные характеристики рассчитываются следующим образом:
В передаточной функции Wрс(p) аргумент “p” заменяется на jω:
Wрс(jω) = Wрс(p)|p=jω
Полученная функция Wрс(jω) называется комплексным коэффициентом передачи (ККП) разомкнутой системы.
2. Функция Wрс(jω) преобразуется к виду Wрс(jω)=R(ω)+j Q(ω),
где R(ω)= Re Wрс(jω), Q(ω)= Im Wрс(jω).
3. АЧХ A(ω) = Xmax /
εmax = | Wрс(jω)| =
.
4. ФЧХ φ(ω) = arg Wрс(jω) => tg φ(ω) = R(ω) / Q(ω).
5. ЛАХ L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg | Wрс(jω) |.
6. ЛФХ φ(ω) = arg Wрс(jω).
Две характеристики АЧХ и ФЧХ можно объединить в одну амплитудно-фазовую характеристику (АФХ), построенную на комплексной плоскости (годограф Найквиста) – рис.8.
Рис.8. Амплитудно-фазовая характеристика.
--------------------9 билет-------------------------
Лекция 4 Исследование устойчивости и показателей качества системы
Система (рис.2) называется устойчивой, если при подаче на ее вход ступенчатого задающего воздействия x0(t)=1(t) выходной сигнал
п
ри
t→∞ приходит к установившемуся
значению: limt→∞ y(t) = y∞.
Рис.9. Выходной сигнал устойчивой системы при x0(t)=1(t)
Для нормальной работы САР требуется, чтобы система была устойчивой.
Необходимое и достаточное условие устойчивости: все полюса передаточной функции замкнутой системы (ПФЗС) должны иметь отрицательные вещественные части.
Если ПФЗС Wзс(p) = Wрс(p) / (1 + Wрс(p)) = (bmpm + … + b0)/(cnpn + … + c0), то полюса –это корни характеристического уравнения замкнутой системы
cnpn + … + c0 = 0,
pi;i+1
= αi
jβi
– полюса ПФЗС. Условие устойчивости:
--------------------12 билет------------------------
Оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
Частотой среза системы ωср называется такая частота, при которой L(ωср) = 20 lg| Wрс(jωср) | = 0,
т.е. коэффициент усиления по амплитуде | Wрс(jωср) | = 1.
Логарифмический критерий устойчивости: замкнутая система будет устойчивой, если сдвиг фазы на частоте среза φ(ωср) > -180˚(Точка С на рис.10 лежит выше точки В ).
Рис.10. Проверка устойчивости системы.
Для устойчивой системы запасом устойчивости по фазе называется фазовый сдвиг Δφ = 180˚ + φ(ωср).
Для удовлетворительного качества САР рекомендуется иметь запас устойчивости по фазе в пределах от 40 до 60˚.
--------------------13 билет------------------------
Оценка показателей качества процесса регулирования
Качество процесса регулирования оценивается по переходной характеристике замкнутой системы.
Переходная характеристика замкнутой системы - это реакция данной системы на единичное ступенчатое воздействие на входе (рис.11).
Рис.11.Определение переходной характеристики замкнутой системы.
По переходной характеристике определяются (рис.12):
Рис.12. Определение показателей качества.
h∞ - установившееся значение сигнала обратной связи xос ,
ε∞ - установившаяся ошибка: ε∞ = 1 - h∞,
σ% = ((hmax-h∞)/ h∞)*100% - перерегулирование.
У апериодического процесса перерегулирование равно нулю.
tр (время регулирования) – это промежуток времени, по истечении которого переходный процесс входит в 5%-ный коридор и больше из него не выходит (рис.12).
Эти показатели качества можно приближенно оценить по частотным характеристикам разомкнутой системы с помощью эмпирических формул:
Время регулирования
tр ≈ (7
9)/ωср
, где ωср – частота среза системы,
Перерегулирование
σ% ≈ 73
(ωср),
где
–запас
устойчивости по фазе на частоте среза
системы.
Установившаяся ошибка ε∞ определяется по передаточной функции разомкнутой системы:
а) для астатической системы ε∞ =0;
б) для статической системы ε∞ =1/(1+K), где K–коэффициент усиления разомкнутой системы.
Корректирующие устройства в САР
Для обеспечения устойчивости и желаемых показателей качества в контур регулирования необходимо включать корректирующие устройства. Различают 3 вида корректирующих устройств: а) последовательная коррекция (рис.13); б) параллельная коррекция; в) встречно-параллельная коррекция.
Рис.13. Последовательная коррекция САР.
На рисунке (13) Wн(p) – передаточная функция неизменяемой части системы (объект регулирования, датчики, …); Wку(p) – передаточная функция последовательного корректирующего устройства.
Некоторые рекомендации по выбору Wку(p).
В простейшем случае
корректирующее устройство (КУ) можно
подобрать приближенно, исходя из
требования обеспечения запаса устойчивости
по фазе Δφ(ωср)
50о. Если для некорректированной системы
Wн(p) запас устойчивости Δφнк, то при Δφнк
>50о рекомендуется выбрать
Wку(p)= 1 / (1 + Tp), где T = a / ωср, а =tg(Δφнк-50).
Если же Δφнк <50о , то надо увеличить запас устойчивости по фазе, тогда
Wку(p)= (1 + Tp) / (1 + 0.1Tp), где T = a / ωср, а =tg(50- Δφнк )
Кроме этого, возможно потребуется изменение коэффициента усиления разомкнутой системы. Более точно подбор корректирующего устройства делается следующим образом:
1) по заданным показателям качества tр, σ% и ε∞ строится желаемая ЛАХ;
2) строится ЛАХ некорректированной системы Lнк;
3) определяется ЛАХ последовательного корректирующего устройства Lку: Lку(ω) = Lжел (ω)- Lнк (ω)
4) по найденной lку(ω) определяется передаточная функция Wку(p).
--------------------14 билет------------------------