Лекция 7 Основы теории дискретных систем управления

Дискретные САР в контуре управления содержат дискретные сигналы. Различают следующие виды дискретных сигналов:

1. Дискретизация по времени, импульсные САР ( рис. 15);

2. Дискретизация по уровню, релейные САР ( рис. 16);

3. Совмещение 1 и 2 – цифровые САР.

В дальнейшем будем рассматривать только дискретизацию по времени, так как в цифровых системах дискретизацией по уровню можно пренебречь. В настоящее время подавляющее большинство дискретных САР в качестве дискретизирующего устройства имеют цифровую вычислительную машину.

Рис.15. Дискретизация по времени. Рис.16.Дискретизация по уровню.

Функциональная структура САР с цифровой вычислительной машиной.

Функциональная схема САР с ЦВМ в контуре управления

показана на рис.17.

Рис.17.Функциональная схема САР с ЦВМ:

АЦП – аналого-цифровой преобразователь); ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь;

НЧС – непрерывная часть системы.

Диаграммы сигналов в контуре управления показаны на рис.18.

Рис.18. Диаграммы сигналов в контуре управления.

В контуре имеются 2 вида сигналов:

• дискретные сигналы и ,

• аналоговые сигналы x , ε, x .

Дискретный сигнал f можно задать двумя способами:

1. бесконечной числовой последовательностью

f =(f , f , ….,f ,…), где f =f(kτ), последовательность f называется решетчатой функцией.

2. Z–изображением решетчатой функции.

Понятие о Z-преобразовании

Z-изображением решетчатой функции f

называется сумма ряда:

f0 + f1z-1 + f2z-2 + …+ fkz-k + …= fkz-k = Z { f }. (18) Иногда Z-изображение решетчатой функции f удобно обозначить символом F (z).

Основные свойства Z-изображений:

1) сумме решетчатых функций соответствует сумма их Z-изображений:

--------------------21-22 билет--------------------

Z{f + φ } = Z{f } + Z{φ };

2) постоянный множитель можно выносить за знак Z-изображения;

3) теорема запаздывания: если f Z{ f } и функция φ запаздывает на n шагов, то φ z-nZ{ f },

например, при n=3 :

φ ={0,0,0,f0,f1,f2, …} Z{φ } = 0 + 0z-1+0z-2+ f0z-3 + …=

z-3 (f0 + f1z-1 + …)= z-3 Z{ f }.

В таблице 1 приведены Z-изображения решетчатых функций, полученных дискретизацией соответствующих непрерывных сигналов.

Для решетчатой функции f =(f , f , ….,f ,…), где f =f(kτ), вводится также понятие дискретного изображения по Лапласу в виде суммы ряда:

f0 + f1e-τp + f2e-2τp + … + fke-kτp + … = fke-kτp = D { f }. (19)

Сравнивая выражение (19) с выражением для z-изображения решетчатой функции f (18), получим, что дискретное изображение по Лапласу:

D{ f } = D{f(kτ)} = F (z) | z = eτp (20).

Таким образом, дискретное изображение Лапласа решетчатой функции f получается из Z-изображения Z{ f } заменой аргумента z на eτp.

Таблица 1- Z-изображения некоторых решетчатых функций

Непрерывный сигнал f(t)	Изображение по Лапласу L{f(t)}	Дискретный сигнал	Z–изображение дискретного сигнала Z{ }
1(t)		1(kτ) (k=0,1, 2,…)
t		kτ (k=0,1, 2,…)
		(k=0,1, 2,…)
sin(ω*t)		Sin(k*ω*τ) (k=0,1, 2,…)
cos(ω*t)		cos(k*ω*τ) (k=0,1, 2,…)

Математическая модель дискретного преобразователя.

Математическую модель ЦВМ как дискретного преобразователя → (рис.17) можно задать двумя основными способами:

с помощью конечно-разностного уравнения (вместо дифференциального уравнения для непрерывной системы):

a0u (kτ)+a1u ((k-1)τ)+…+anu ((k-n)τ)=

=b0ε (kτ) +b1ε ((k-1)τ)+…+bmε ((k-m)τ) (21),

где m – глубина памяти входного сигнала, n – выходного сигнала.

Имея модель (21) и задавая нулевые начальные условия:

u (-τ), u (-2τ), …, u (-nτ) = 0 и ε (-τ), …, ε (-mτ) = 0,

а также значения входного сигнала ε (kτ) для k=0,1,2,…,

можно рассчитать сигналы на выходе ЦВМ по рекуррентной формуле:

u (kτ) = 1/a0[b0 ε (kτ) + … + bm ε ((k-m)τ) - - (a1u ((k-1)τ) + … + anu ((k-n)τ) )] для k=0,1,2,…. (22)

с использованием аппарата Z-преобразования или дискретного преобразования Лапласа.

Используя свойства Z–изображений, можно конечно-разностное уравнение (21) преобразовать в алгебраическое уравнение относительно

Z-изображений входного и выходного сигналов:

(a₀ + a₁z^-1 +…+ a_nz^-n) * Z{u } = (b₀ + b₁z^-1 + … + b_mz^-m)* Z{ε },

откуда Z {u } = (b₀ + b₁z^-1 + … + b_mz^-m) Z{ε } / (a₀ + a₁z^-1 + … + a_nz^-n)=

= W (z) * Z{ε } (23).

Z-передаточной функцией дискретного преобразователя, описываемого конечно разностным уравнением (21), называется дробно-рациональная функция, равная отношению Z–изображения выходного сигнала Z {u } к Z–изображению входного сигнала Z{ε } при нулевых начальных условиях:

W (z) = Z {u }/ Z{ε }. (24)

Из выражений (24) и (23) получаем Z-передаточную функцию дискретного преобразователя:

W (z) =(b0 + b1z-1 + … + bmz-m) / (a0 + a1z-1 + … + anz-n) (25).

С помощью Z-передаточной функции можно для заданной последовательности ε = (ε0, ε1, …) шаг за шагом рассчитать выходную последовательность u . Для этого выполняются следующие действия:

1) для заданной последовательности ε определяется Z-изображение

ε Z{ ε };

2) по выражению (23) определяется Z-изображение выходной последовательности Z{ u };

3) выполняется обратное Z-преобразование: u = Z-1{Z{ u }},

это преобразование выполняется путем деления полинома числителя

на полином знаменателя.

--------------------23-25 билет--------------------

Передаточная функция цифро-аналогового преобразователя

Выходной сигнал u(t) цифро-аналогового преобразователя (рис.19) является аналоговым сигналом (см. рис.18), поэтому для него можно найти изображение по Лапласу:

L{u(t)} = e-ptu(t)dt . (26)

Рис.19. Определение сигнала на выходе ЦАП.

Представляя импульсы выходного сигнала u(t) в виде разности двух ступенчатых сигналов (рис.20), запишем выходной сигнал ЦАП:

u(t) == ([1(t-kτ)-1(t-(k+1)τ)]uk) (27)

Рис.20. Представление импульса разностью двух ступенчатых функций.

Подставив выражение (27) в (26), находим изображение по Лапласу выходного сигнала ЦАП:

L{u(t)} = uk[ -tp 1(t-kτ)dt - -pt 1(t-(k+1)τ) dt] = uk(e-kτp/p - - e-(k+1)τp/p) = (1-e-τp)e-kτpuk/p = (1-e-τp)/p * uk e-kτp =

=Wцап (p)*D{u }, (28)

где Wцап(p) = (1-e-τp)/p (29)

– передаточная функция цифро-аналогового преобразователя (ПФ ЦАП),

D{u )} = uk e-kτp = U (z) | z = eτp (30)

–дискретное изображение по Лапласу решетчатой функции u .