27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.

Соленоидальное векторное поле

Определение 4.12. Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым в области , если в каждой точке этой области

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля:

В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .

Так как , то поле ротора любого векторного поля является соленоидальным.

3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение, называемое интенсивностью трубки.

Потенциальное векторное поле

Определение 4.13. Векторное поле называется потенциальным или безвихревым, или градиентным в односвязной области , если в каждой точке этой области

Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда и другие.

Приведем некоторые свойства потенциального поля:

Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю. В поле скоростей текущей жидкости равенство означает, что в потоке нет замкнутых струек, т.е. нет водоворотов.

В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой.
Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , т.е. если , то существует функция такая, что .

Из равенства следует обратное утверждение: поле градиента скалярной функции является потенциальным.

Для того чтобы поле было потенциальным в области , необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция , такая, что , которая называется потенциальной функцией (потенциалом) поля .

Потенциал векторного поля можно найти по следующей формуле:

, (4.16)

где  некоторая фиксированная точка области ,  любая точка области ,  произвольная постоянная.

Гармоническое векторное поле

Определение 4.14. Векторное поле называется гармоническим или лапласовым, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. если

и .

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Потенциал гармонического поля является решением уравнения Лапласа