36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
7.1. Функциональные ряды
Определение 7.1.
Пусть функции
определены в области
.
Тогда выражение вида
(7.1)
называется функциональным рядом.
Придавая
определенные значения
,
получаем числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Определение
7.2. Если
числовой ряд
сходится при
,
то ряд называется сходящимся
в точке
,
а сама точка
называется точкой
сходимости ряда.
Множество значений
,
при которых ряд (7.1) сходится, называется
областью
сходимости функционального ряда.
Область сходимости
функционального ряда обозначим
.
Как правило, область
не совпадает с областью
,
а является ее подмножеством, т.е.
.
Пример 7.1. Найти область сходимости функционального ряда
.
Решение.
Область определения функций – это
.
Данный ряд является
членом геометрической прогрессии со
знаменателем
.
Такой ряд сходится, если
.
.
Поэтому область
сходимости исследуемого ряда является
интервал
.
Таким образом,
.
Так
как каждому
соответствует некоторое число – сумма
числового ряда, то указанное соответствие
определяет функцию
,
которая называется суммой
ряда (7.1)
в области
.
Сумма функционального ряда в области
сходимости
определяется равенством
,
где
-я
частичная сумма функционального ряда.
В таком случае
есть
-й
остаток функционального ряда.
В области сходимости ряда
.
Пример 7.2. Найти область сходимости и сумму функционального ряда
.
Решение.
Данный ряд является рядом геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Следовательно, этот ряд сходится при
,
т.е. при всех
.
Таким образом, область сходимости
.
В области сходимости данного функционального ряда найдем сумму. По формуле суммы геометрической прогрессии при получаем
,
при
.
37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
Определение 7.3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (7.2)
где
постоянные числа, называемые коэффициентами
ряда,
фиксированное число.
При
получаем степенной ряд вида
. (7.3)
Ряд (7.2) легко
приводится к ряду (7.3), если положить
.
Поэтому при изучении степенных рядов
иногда ограничиваются степенным рядом
(7.3).
Выясним вопрос о
сходимости степенного ряда (7.3). Область
сходимости этого степенного ряда
содержит, по крайней мере, одну точку
(ряд (7.2) сходится в точке
).
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.
Теорема 7.1 (теорема
Абеля). Если
степенной ряд (7.3) сходится в точке
,
то он абсолютно сходится при всех
,
удовлетворяющих неравенству
.
Доказательство.
Рассмотрим числовой ряд
,
который сходится по условию. Следовательно,
по необходимому признаку сходимости
.
Поэтому все члены ряда ограничены в
своей совокупности, т.е. существует
такое постоянное положительное число
,
что при всех
имеет место неравенство
.
Запишем ряд (7.3) следующим образом:
,
и составим ряд из абсолютных членов
.
В силу установленного
неравенство каждый член здесь меньше
соответствующего члена геометрической
прогрессии со знаменателем
:
.
Если
,
то
и прогрессия сходится. Поэтому сходится
и ряд, составленный из абсолютных
величин. А значит, абсолютно сходится
ряд (7.3).
Несмотря
на то, что
,
мы не можем сразу воспользоваться
признаком сравнения,поскольку в условии
теоремы не сказано, что ряд в самой точке
сходится абсолютно.
Следствие. Если степенной ряд (7.3) расходится в точке , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству
.