- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.
Сумма степенного ряда (7.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости .
Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из числе и .
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. Для ряда
при
. (7.6)
Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Для ряда (7.3) при выполняется равенство
. (7.7)
Ряды (7.6) и (7.7) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.
Перечисленные свойства остаются справедливыми и для степенных рядов вида (7.2).
Пример 7.8. Найти сумму ряда
.
Решение. Найдем интервал сходимости данного ряда. Используя признак Даламбера, получаем
.
Для того, чтобы ряд сходился, необходимо выполнение следующего равенства:
.
Таким образом, интервал сходимости есть .
Так как ряд сходится при , то его можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда через , имеем
.
В интервале сходимости полученный ряд есть сумма членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и его сумма . Проинтегрировав ряд из производных на отрезке , где найдем сумму данного ряда:
.
39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение функций в степенной ряд
Для приложений важно уметь данную функцию представлять в виде суммы степенного ряда.
Для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
,
(7.8)
где , остаточный член в форме Лагранжа. Причем число можно записать в виде , где .
Формулу (7.8) можно записать в виде
,
где многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при ( ), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степени , называемое рядом Тейлора:
.
(7.9)
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:
.
(7.10)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходится, но не к функции .
В следующей теореме (которую примем без доказательства) сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции .
Теорема 7.2. Для того чтобы ряд Тейлора (7.9) функции сходился к функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (7.8) стремился к нулю при , т.е. чтобы .
Для разложения функции в ряд Маклорена (7.10) нужно:
найти производные ;
вычислить значения производных в точке ;
выписать ряд (7.10) для заданной функции и найти его интервал сходимости;
найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.
Пример 7.9. Разложит в ряд Маклорена функцию и найти область, в которой ряд сходится к данной функции.
Напомним: , .
Решение. Находим производные функции :
, , , … .
Таким образом, , если четное, и , если нечетное.
Полагая , получаем , , , , …, , если четное, и , если нечетное. Подставим найденные производные в ряд (7.10). Имеем
. ()
Остаточный член в форме Лагранжа имеет следующий вид:
если четное, то
,
где при и ;
если нечетное, то
,
где при и .
Так как , то и . Значит,
.
при любом . Следовательно, при любом и . Значит, ряд () сходится к функции на всей числовой прямой.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
, при ;
, при ;
, при ;
, при ;
, при ;
,
при ;
, при ;
, при .
Пример 7.10. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение. При разложении в степенной ряд функции в формулу разложения функции вместо поставляем . Тогда получаем
.
Полученный ряд сходится при любых . Но следует помнить, что функция не определена при . Поэтому найденный ряд сходится к функции только в полуинтервале .