II способ

Воспользуемся формулой 2.10.

, .

Тогда

.

Далее находим

.

,

Пример 2.8. Вычислить интеграл:

,

где  контур прямоугольника с вершинами .

Решение. В плоскости изобразим контур интегрирования.

.

17.Поверхностный интеграл I рода

п. 3. Поверхностные интегралы

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

3.1. Поверхностный интеграл I рода

Пусть в точках некоторой гладкой поверхности пространства определена непрерывная функция .

.

Если при и интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению,

. (3.1)

Основные свойства поверхностного интеграла I рода

1. , где .

2. .

3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

.

4. Если на поверхности функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

5. Если , то , где  площадь поверхности .

6. (Теорема о среднем) Если функция непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что

.

3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области  проекции поверхности на плоскости .

Если поверхность задана уравнением , то поверхностный интеграл I рода вычисляется по следующей формуле:

, (3.2)

где  проекция поверхности на координатную плоскость .

Если поверхность задана уравнениями вида или , то получаем следующие формулы

и

,

где и  проекции поверхности на координатную плоскость и соответственно.

,

Пример 3.2. Вычислить , где  часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями .

Решение. В пространстве строим поверхность .

Поскольку , , то получаем

,

где  прямоугольник .

18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.

3.3. Поверхностный интеграл II рода

Пусть задана гладкая поверхность . Сторона поверхности , в каждой точки которой построен вектор нормали , называется положительной, а другая ее сторона (если она существует) – отрицательной. Если, в частности, поверхность является замкнутой и ограничивает некоторую область пространства , то положительной или внешней стороной поверхности называется та ее сторона, нормальные векторы которой направлены от области , а отрицательной или внутренней – сторона, нормальные векторы которой направлены в область .

Поверхность, у которой существует положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Примерами двухсторонних поверхностей являются плоскость, поверхности второго порядка, тор и др. Двухсторонняя поверхность характеризуется следующим свойством: если основание вектора нормали непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру , лежащему на такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление совпадает с исходным.

Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали при возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору . Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

Поверхность с выбранной стороной называется ориентированной.

Пусть в прямоугольной системе координат задана некоторая область . И пусть в этой области задана поверхность , ограниченная некоторой пространственной линией .

Относительно поверхности будем предполагать, что в каждой ее точке определяется положительное направление нормали единичным вектором , направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то нормальный вектор , образующий с осью острый угол , определяется следующим образом: , тогда координаты единичного вектора нормали :

.

Если поверхность задана уравнением , то

,

где знак «+» берется в случае, когда угол  острый, а знак «» в случае, когда  тупой.

Пусть в области пространства определена вектор-функция

,

где  функции непрерывные в области .

Разобьем поверхность на элементарные площадки , площадки которых , а диаметры – через . На каждой площадке выберем произвольную точку . Найдем интегральную сумму .

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , , называется поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению

.

(3.3)

Надо отметить, что если поверхность такова, что в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности, и если вектор-функция непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует.

Произведение есть проекция площадки на плоскость , то . Аналогично получаем: , . Тогда формулу (3.3) можно записать в виде

. (3.4)

Каждое слагаемое интегральной суммы может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием и высотой . Если вектор есть скорость жидкости, протекающей через поверхность , то произведение равно количеству жидкости, протекающей через площадку за единицу времени в направлении вектора .

Выражение представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если под вектором подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля через поверхность .

Отметим, что если  замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней  .

свойства

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхностного интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если , и  цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то

.

20.ПИ-2 по замкнутым поверхностям. Формула Остроградского

Теорема 3.1. Если  замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область , а  функции непрерывные со своими частными производными первого порядка в замкнутой области , то справедлива следующая формула:

. (3.10)

Формула (3.10) называется формулой Остроградского – Гаусса.

Эта формула позволяет упростить вычисление многих поверхностных интегралов.

Пример 3.4. Вычислить , если  верхняя часть плоскости , расположенной в IV октанте.

Решение. I способ

Воспользуемся формулой (3.5). Из уравнения плоскости выражаем . Получаем и находим координаты нормального вектора:

.

Вектор-функция имеет вид .

.