- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •8) {An} – фундаментальна
- •9)Критерий Коши
- •10)Критерий монотонной сходимости
- •Для заметок
2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
Множество – совокупность некоторых объектов и эти объекты множества.
Множества характеризуются своими элементами.
Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Пустое множество Ø – множество, в котором нет элементов.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Объединение: \/
Пересечение: /\
Инверсия: С
\ - разность множеств
3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
Функция (или отображение) – это правило, которое каждому элементу из А ставит в соответствие единственный элемент из В.
Точное определение функции: в прямом произведении A В рассматривается подмножество Г, такое, что
единственная пара
Тогда Г и определяет функцию из А в В, для которой Г является графиком.
ТЕРМИНОЛОГИЯ
B f- функция из А в В
А = – область определения f
– переводит элемент а в элемент в
F(A)- множество значений отображений f:A B
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть
Тогда
1). f – инъективно f- разные элементы переводит в разные
2). f – сюръективно если в каждый элемент из В переходит некоторый элемент из A
3). f – биективно если оно сюръективно и инъективно
Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:
f(g(y)) = y для всех
g(f(x)) = x для всех
Обратная функция определена лишь для биективной.
4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
СЛОЖЕНИЕ(С)
С1 Ассоциативность x,y,z (x+y)+z = x+(y+z)
C2 Существование нейтрального элемента х + 0 = 0 + х = х
С3 Существование обратного элемента x y, что х + у = 0 (у = -х)
С4 Коммутативность .x, y R х + у = у + х
ЗАМ : С1 – С3 множество R с операцией «+» является группой, если ещё с4, то группа называется Абелевой, или коммутативной
УМНОЖЕНИЕ(У)
У1 Ассоциативность x,y,z (x*y)*z = x*(yz)
У2 Существование нейтрального элемента x R х*1 = 1* х = х
У3 Существование обратного элемента x 0 y, что х*у = 1 (у = 1/х)
У4 Коммутативность х*у = у*х x,y
ЗАМ : У1 – У4 Абелева группа умножения
(С + У) Дистрибутивность x,y,z
x*(y+z)=x*y+x*z
АКСИОМЫ ПОРЯДКА (П) x,y,z
П1 рефлективность Х Х
П2 транзитивность
П3 Антисимметричность
П4 Сравнимость всех элементов: x,y (x y) \/ (y x)
ЗАМ : П1 – П3 – частичный порядок
П1 – П4 – порядок
(С + П) (связь «+» и « »)
(У + П) (связь «*» и « »)
Эти 15 аксиом = R упорядоченное поле
АКСИОМА ПОЛНОТЫ
Полнота R : для любых непустых множеств, таких, что все элементы одного не превышают все элементы другого, существует число, разделяющие эти множества.
5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
1’. 1 – натуральное число
2’. n (n – натуральное число) (n +1) – натуральное число
3’. Любое натуральное число можно плоучить из 1’. или 2’.
МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ N = {1, 2, 3, 4, …}
ТЕОРЕМА : Множество N не ограничено сверху
ДОК-ВО: «От противного» предположим что это множество ограничено сверху. Тогда существует единственная точная верхняя граница множества =: C
С – 1 – верхняя граньN C – не верхняя грань. ПРОТИВОРЕЧИЕ.
АКСИОМА АРХИМЕДА
Если имеется две величины a и b, то взяв a слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b:
ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
-База y(n=1) – верно
-Шаг индукции y(n=k+1)