17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.

Подпоследоватедьности ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть {x _n } - последовательность {n _k } - возрастающая последовательность натуральных чисел Тогда {x _n k } подпоследовательность {x _n }  Пример: n _k = 2k

x n k =

1 (2k)^3

- подпоследовательность последовательности

x n  =

1 (n)^3

Замечание: n _k ∈ N, n _k строго возрастает ⇒ n _k ≥ k ДОК-ВО По принципу математическлй индукции  База: n ₁ ≥ 1 Шаг: пусть n _k ≥ k n _{(k + 1)} > n _k ≥ k n _{(k + 1)} > k ⇒ n _{k + 1} ≥ k + 1  Ч.Т.Д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Частичным пределом последовательности называется предел её подпоследовательности т.е. если {x _n } - последовательность и {x _n k } - её сходящаяся подпоследовательность lim x _n k - частичный предел для {x _n } Пример:

x n =

1 n^3

x n k =

1 (2k)^3

→ 0

число "0" - частичный предел для {x _n }

18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.

ТЕОРЕМА:

Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

ДОК-ВО: Рассмотрим Е = (x _n : n ∈ N) - множество значений последовательности Т.к.{x _n } - огр. ⇒ Е - ограничено а) Е - конечное (состоит из конечного числа элементов ⇒ некоторый элемент из Е (пусть это число с) встретится в {x _n } бесконечно много раз. ⇒ есть подпоследовательность (постоянная !), которая сходится б)

Е - бесконечно Е - ограничено

(ППТ) ⇒

у множества Е есть хотябы одна предельная точка (пусть это - С) Построим подпоследовательность {x _n } - сходится к С. Т.к. С – предельная точка для Е, то

в любой окрестности С бесконечно много точек из Е ε = 1 В интервале U (C - 1, C + 1) бесконечно много точек из Е

Выберем n₁ так, что x _n1 ∈ U 

ε =

1 2

, значит

U 1/2 = (C -

1 2

, C +

1 2

)

там бесконечно много точек из Е Выберем n ₂ так, что n ₂ > n ₁ , и х _n 2 ∈ U _1/2

ε =

1 3

выберем n3 > n 2 так, что x n 3 ∈ U1/3 = (C -

1 3

, C +

1 3

и т. д. С

Т.о. построим последовательноcть n _{k + 1} > n _k

x n k ∈ U1/k= (C -

1 k

, C +

1 k

),

т.е. C -

1 k

< x n k < C +

1 k

C -	1 k	→ C
C +	1 k	→ C	по лемме о двух миллиционеров x n k → C

⇒ C - частичный предел Ч.Т.Д.