- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •8) {An} – фундаментальна
- •9)Критерий Коши
- •10)Критерий монотонной сходимости
- •Для заметок
13). Предел и арифметические операции.
Пусть , при
Тогда:
1).
2).
3). (Если и 0 n )
( , аналогично произведение, разность и частеное)
(«предел суммы равен сумме пределов»)
ДОК-ВО:
1)по условию , т.е. , такой, что
Аналогично , ЧТО
Выберем , тогда
2)
Т.к. - сходится, то , что N
, тогда
|y n - B| < |
|
, то |x n | ∉ |y n - B < |
|
⇒ |
|x n y n - AB| < |
|
+ |
|
= ε |
А при
3).
, что
тогда: ⇒ n >
14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (Монотонные последовательности)
{xn} – возрастающая , убывающая если
Невозрастающая , неубывающей если
Все четыре типа называются монотонными последовательностями. Возрастающие и убывающие – строго монотонные. Невозрастающие и неубывающие – нестрого монотонные.
ТЕОРЕМА (Критерий сходимости монотонной последовательности).
Пусть монотонна, тогда она сходится она ограничена.
ДОК-ВО:
( ) Очевидно
( ) Пусть неубывающая и ограничена.
Покажем, что сходится. Пусть N
Т.к. ограничена, то - ограниченное множество,
(По принципу верхней грани)
С – верхняя граница для , т. е. N
Причём наименьшая верхняя граница. Т.е. , тогда не верхняя граница
Т.е. , что
Н о:
n > n0
Т.е.
Ч.Т.Д.
15). Число е
Число (Ейлер)
ТЕОРЕМА
Существует
= 2,781281828459045…
ЛЕММА
Последовательность - убывающая
ДОК-ВО:
= = = =
(По неравенству Бернулли если ) > = = = 1
Т.е. , т.е. она убывает. Ч.Т.Д.
СЛЕДСТВИЕ
ДОК-ВО
- убывает. , значит она ограничена снизу, она убывает она ограничена. ⇒(по критерию линейной сходимости)
- сходится. Ч.Т .Д.
ДОК-ВО теоремы
= = (первый множитель сходится по лемме, второй = =
=
По теореме о пределе произведения - сходится и её предел равен пределу =
Теорема доказана.
16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность называется фундаментальной если
ТЕОРЕМА (Критерий Коши)
Числовая последовательность - сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
ДОК-ВО:
( ) Пусть - сходится, т. е. , т.е. , что
∀ m > N ⇒ |x m - A | < |
|
-
∀ n > N ⇒ |x n - A | <
ε
2
⇒ |x n - x m | = |(x n - A) - (x m - A)| ≤ |(x n - A) + (x m - A)|< |
|
∀ ε > 0 ∃N ∀ n > N ∀ m > N |x n - x m | < ε Т.е. {x n } - фундаментальна (⇐) Пусть последовательность x n - фундаментальна, т.е. ∀ ε > 0 ∃ N 0 = N 0 ( ε ) ∀ m, n > N 0 |x m - x n | < ε 1) Ограниченность ε :=1; N 1 =N 0 (1); ⇒ ∀ m, n > N 1 |x m - x n | < 1 m:=N 1 + 1 = k ∀ n > N 1 |x n - x k |<1 Т.е. x k + 1 < x n < x k - 1 C:= max {|x k + 1|, |x k - 1|, |x 1 |, |x 2 |,...|x N 1 |} Тогда ∀ n ∈ N |x n | ≤ C т.е.{x n } - ограничена 2). a n = inf { x n : k ≥ n } b n = sup { x n : k ≥ n } x n - ограничена (ПВГ) ⇒ ∃ b n ; налогично по принципу нижней грани ∃ a n Тогда: а) a n ≤ a n + 1 б) b n ≥ b n + 1 Т.е. {a n } возрастает; {b n } убывает в) b n ≥ a n г) a n b n ∀ n, m I n = [a n , b n ] из(в) ⇒ это отрезок из(а, б) ⇒ I n ⊃ I n + 1 an an+1 bn+1 bn
П о принципу вложенных отрезков (ПВО) ⇒ ∃ точка А, общая для всех отрезков Т.е. A ∈ I n ∀ n; т.е. a n ≤ A ≤ b n ∀ n
Возьмём N = N 0 ( |
|
) |
Покажем, что ∀ n > N, |x n - A| < ε
Имеем: ∀ m, n > N |x m - x n | < |
|
x n < x m + |
|
Пусть m = N + 1 Если n > N, и k ≥ n ⇒ k > N ⇒
x n - |
|
k < x m + |
|
⇒ sup {x k : k ≥ n} ≤ x m + |
|
b n < x m + |
|
xm- ε/3 an xn bn xm+ ε/3
Аналогично:
A n ≥ x m - |
|
|||
И т.д. |
|
Т.е.
I n ⊂ x m - |
|
,x m + |
|
|x m - A| ≤ |
|
A ∈ I n ⇒ x m- |
|
≤ A < x m + |
|
Тогда : |x n - A| = |x n - x m + x m - A | ≤ |x m - x n | + |x m - A| ≤
ε
|
+ |
|
< ε |
|||||||
|
Т. е. {x n } - сходится Ч.Т.Д.