19). Верхний и нижний пределы, их свойства.

МНОЖЕСТВО ЧАСТИЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ  Пусть {x _n } - ограничено

Рассмотрим

		an = sup{xk : k≥n}
		bn = inf{xk : k≥n}

ЛЕММА

Последовательности a_n и b_n сходятся ДОК-ВО: a _n ≥ a _{n + 1} , a _n убывает b _n ≤ b _{n + 1} , b _n возрастает {a _n } и {b _n } - ограничены  По критерию монотонной сходимости последовательности a _n и b _n сходятся  Ч.Т.Д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

lim n → ∞

sup k ≥ n

x n =:

lim k → ∞

x n

- верхний предел последовательности {x _n }

Аналогично

lim n → ∞

x n =

lim n → ∞

inf k ≥ n

x k

ТЕОРЕМА Верхний предел – наибольший из всех частичных пределов, нижний предел – наименьший из частичных пределов

ДОК-ВО(для верхнего предела): 1)

Покажем, что

lim n → ∞

x n =: c - частичный предел.

Пусть a_n = sup{x_k : k≥n}. Тогда оно определено.

a _n → c, т. е. ∀ ε > 0 ∃ N( ε ) ∀ n > N |a _n - c| < ε .

Возьмём ε = 1 → N ₁ = N(1), Выберем m = N ₁ , тогда m > N ₁ , и |a _m - c| < 1 (т.е. c - 1 < a _n < c + 1) a _m = sup {x _m , x _{m + 1} , } ⇒ a _m-1 - уже не верхняя граница для этого множества Есть номер n₁ n ₁ ≥ m, что a _m – 1 < x_n1 ≤ a_m  ⇒ x _n 1 ∈ (c - 2, c + 1)

ε =

1 2

⇒ N 2 = N(

1 2

)

Выберем m ₂ = max{N ₂ + 1, n ₁ + 1}, тогда 

|a m 2 - c| <

1 2

⇒ c -

1 2

< a m 2 < c +

1 2

a _m 2 = sup {x _m2 , x _m 2 + 1, … } 

⇒ a m 2 -

1 2

- уже не верхняя граница

⇒ есть например n 2 ≥ m 2 что a m 2 -

1 2

< x n 2 < a m 2

⇒ x n 2 ∈ (c - 2

1 2

, c +

1 2

)

причём n ₂ > n ₁ . Аналогично построим n₃ > n₂, n₄ > n₃, и т.д. и вообще

n_k+1>n_k, так,

что x n k ∈ (c - 2

1 k

, c +

1 k

) ⇒ x n k → c

по лемме о двух милиционерах они сходятся к с. Значит с - частичный предел 2) Если a - частичный предел, то a ≤ c Пусть x _n k → a

c =

lim n → ∞

x n =

lim n → ∞

a n, где  a n = sup{x k :k ≥ n}

Т.е. ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n > N |a _n - c| < ε  ⇒ при n > N (a _n < c + ε ), но a _n = sup {x _n : k ≥ n} ≥ x _n  ⇒ при k > N, n _k ≥ k > N ⇒ n _k > N ⇒ x _n k < c + ε , но x _n k → a, значит, и a ≤ c + ε  Итог: ∀ ε > 0, a ≤ c + ε ⇒ a ≤ c Ч.Т.Д. Замечания: 1) Аналогично нижний предел – наименьший из всех частичных 2) Для существования верхнего предела достаточно ограниченности сверху, для нижнего - снизу Определение: {x _n } - ограничена сверху тогда и только тогда, когда ∃ c, что ∀ n x _n ≤ c