- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
1.Определение и свойства двойного интреграла. Назовем диаметром области Di точную верхнюю грань расстояний между двумя любыми точками этой области. Символом обозначим наибольший из диаметров частичных областей D1, D2, ..., Dr.Число I называется пределом интегральных сумм (3) при , если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что при независимо от выбора точек Pi в частичных областях Di выполняется неравенство Общее определение интегрируемости. Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) в области D, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется двойным интегралом от функцииf(x, y) по области D. Свойства двойного интеграла:Двойной интеграл обладает следующими свойствами:
1) 2)
3) , где k –
константа;
4)Если в области R,то ;
5)Если в области R и , то ;
6)Если на R и области R и S являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному в ычислению двух определенных интегралов.Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция ƒ(х;у)>=0 непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 7.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=ƒ(х;у). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. Часть 1, ( 41.6)) было показано, что где S(x) - п лощадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, a x=a,x=b - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и х=b и кривыми у=1(x) и у=2(х), причем функции 1(x) и 2(х) непрерывны и таковы, что 1(x) ≤ 2(х) для всех х є [а;b] (см. рис. 7). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х =const, где х є [а; b].В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями z=ƒ(х;у), где х=const, z=0, у=1(x) и у=2(х) (см. рис. 8). Площадь S(х) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден
так:
С другой стороны, в п. 7.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ƒ(х;у) >=0 по области D. Следовательно, Это равенство обычно записывается в виде Формула (7.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (7.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции ƒ(х; у) по области D.При этом называется внутренним интегралом.Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d(c<d), кривыми x=Ψ1(у)и х=Ψ2(у)> причем Ψ1(у)≤Ψ2(у) для всех у є [с;d], т. е. область D - правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у=const, аналогично получим: Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
3.Двойной интеграл в полярных координатахДля упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как Если функции (7.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
а функция ƒ(х;у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель (7.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г.Якоби - немецкий математик). Доказательство формулы (7.11) не приводим.Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .В качестве u и υ возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами х=rcos , у=r sin (см. Часть 1, п. 9.1).Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (7.10) как Формула замены переменных (7.11) принимает вид: где D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область D* имеет вид, изображенный на рисунке 10 (ограничена лучами =а и =β, где а < β, и кривыми r=r1() и r=r2(), где r1()≤r2(), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (7.12) можно записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном .
Замечания.Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ƒ(х2+у2); область D есть круг, кольцо или часть таковых. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены х=rcos , у=rsin , dxdy=r dr d; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и (исследуя закон изменения r и точки (r; ) при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).
4Двойной интеграл в криволинейных координатахПусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат {x, y} к криволинейным координатам {u,v}, связанным с прямоугольными координатами соотношениями x = x(u, v), y = y(u, v), где функции x(u, v) и y(u, v), имеют непрерывные частные производные в области D/ плоскости uO/v и якобиан преобразования в области D/ не обращается в нуль: (102)При этом устанавливается взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости хОу и точками области D/плоскости uO/v (рис. 11)
Рис. 11
Формула преобразования двойного интеграла в этом случае имеет вид
. (103)
В частности, для полярных координат
. (104)