- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Рассмотрим важный класс рядов, у членов которых поочередно изменяются знаки. Такие ряды называются знакочередующиеся.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.
Теорема 6.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (6.1) сходится, если
последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.
;
общий член ряда стремится к нулю, т.е.
.
При этом сумма ряда (6.1) удовлетворяет неравенствам .
Следствие. Остаток ряда (6.1) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е. .
Например, по признаку Лейбница ряд
сходится, т.к. выполняются условия теоремы 6.1:
1) ; 2) .
36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида
называется функциональным рядом.Придавая определенные значения , получаем числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Определение 7.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .
Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке: . Тогда , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.
Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.
Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.
37.Степенные ряды. Область сходимости.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, где постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, фиксированное число.При получаем степенной ряд вида
. Ряд (1) легко приводится к ряду (2), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (2).
Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (7.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (1) сходится в точке ).
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.Теорема (теорема Абеля). Если степенной ряд (7.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству .Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит их точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (7.3) расходится.Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом, это такое число, что при всех , для которых , ряд (7.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится .Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.В частности, когда ряд (7.3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же ряд (7.3) сходится при всех значениях (т.е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (7.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда
и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел
.
По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых
.
Ряд, составленный из модулей членов ряда (7.3), расходится при тех значениях , для которых .
Таким образом, для ряда (7.3) радиус сходимости
. (7.4)
Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно получить, что
. (7.5)
Замечания:Если , то ряд (7.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .
Если дан степенной ряд (7.2), то его радиус сходимости определяется также по формулам (7.4) или (7.5), а интервал сходимости будет интервал с центром в точке : .