- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
8. Определение и свойства тройного интеграла.
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.
Рассмотрим в пространстве замкнутую область . Пусть в области задана непрерывная функция .1) Разбиваем область на «элементарных областей» .2) Объем «элементарной области» обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .3)Возьмем произвольную точку .4) Находим .5) Составляем интегральную сумму
.
6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что .
.
Предел интегральной суммы, когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю, называется тройным интегралом от на замкнутой областью .Таким образом, тройным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:
. интегрируемая функция в области ;
область интегрирования; , и переменные интегрирования;
или элемент объема.
Свойства
1) 2)
3) , где k –
константа;
4)Если в области r,то ;
5)Если в области r и , то ;
6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
9. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств: где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5). Если область D можно задать системой неравенств то В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла: .Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатахЦилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е. .Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул , , : .Если область V задана системой неравенств: причем то V: Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V: .
10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.
П оложение точки в пространстве можно определить заданием трех числе , где длина радиус-вектора проекции точки на плоскость , угол, образованный этим радиус-вектором с осью , аппликата точки (см. рис.).
Три числа называются цилиндрическими координатами точки .Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: , , ,где .
Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:
.
Формула замены переменных (1.9) принимает вид:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по , по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.