- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).
Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:
.
Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.
Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:
.
.
.
Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как есть скаляр.
Дифференциальный оператор
также называется оператором Гамильтона.
Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:
.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
,
которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.
, так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
.
, так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.
.
27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
Соленоидальное векторное поле
Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым в области , если в каждой точке этой области .
Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидального поля:
В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .
Так как , то поле ротора любого векторного поля является соленоидальным.
3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение, называемое интенсивностью трубки.
Потенциальное векторное поле
Векторное поле называется потенциальным или безвихревым, или градиентным в односвязной области , если в каждой точке этой области
.
Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда и другие.
Приведем некоторые свойства потенциального поля:
Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.
В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю. В поле скоростей текущей жидкости равенство означает, что в потоке нет замкнутых струек, т.е. нет водоворотов.
В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой.
Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , т.е. если , то существует функция такая, что .
Из равенства следует обратное утверждение: поле градиента скалярной функции является потенциальным.
Для того чтобы поле было потенциальным в области , необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция , такая, что , которая называется потенциальной функцией (потенциалом) поля .
Потенциал векторного поля можно найти по следующей формуле:
,где некоторая фиксированная точка области , любая точка области , произвольная постоянная.
Гармоническое векторное поле
Векторное поле называется гармоническим или лапласовым, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. если
и .
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.Потенциал гармонического поля является решением уравнения Лапласа .
Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.