- •1. Свойства сходящихся числовых рядов
- •2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
- •4.Признак Коши и Даламбера
- •7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •8. Признак Дирихле-Абеля
- •9. Перестановка членов сходящихся рядов.
- •12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
- •1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
- •13. Непрерывность суммы рсфр
- •15. Почленное дифференцирование рсфр
- •14. Почленное интегрирование рсфр
- •16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
- •17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
- •20.Основные элементарные фкп
- •21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.
- •22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.
- •23.Теорема о сопряженной гармонической функции.
- •24.Геометрический смысл производной гармонической функции.
- •25.Общие свойства конформных отображений.
- •26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
- •28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:
- •29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).
- •37.Теорема Морера.
- •38.Принцип максимума модуля.
- •39.Теорема Лиувилля.
- •40.Основная теорема алгебры
- •41.Равномерная сходимость рядов фкп.
- •42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
- •43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
- •46. Теорема Абеля.
- •47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
- •48.Теорема Тейлора.
- •49. Теоремы о нулях аналитической функции.
- •I. Теорема о нулях аналитической функции.
- •53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
- •54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
- •55.Теорема Сохоцкого.
- •56. Вычисление вычетов аналитической функции.
- •57. Основная теорема теории вычетов.
- •58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
- •59. Теорема единственности.
- •60.Аналитическое продолжение г-функции.
26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
W=az+b/cz+d ; - дробно-линейное отображение (a,b,c,d – комплексные числа) Теорема. При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая. □ w=a*z+b
рассмотрим: Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу. Следовательно, окружности в окружности а прямые в прямые. При W=az+b/cz+d не линейной (коэфф С не нулевой) представим ее в виде W=A+B/z+z0 где A=a/c;B=(bc-ad)/c2 ; z0=d/c. Тогда отображение сводится к последовательному выполнению след отображений:
=z+z0 ; =1/ ; w=A+B ; Первое и третье обладают круговым свойством в силу линейности. Докажем что и w=1/z обладает этим свойством. Уравнение любой окружности или прямой на комплексной плоскости имеет вид (x2+y2)+ x+ y+ =0; (при =0 это уравнение прямой) x2+y2=|z|2=z ; x=1/2(z+ ); y=1/2i(z- ); уравнение теперь имеет вид z +Dz+ + =0; где D=1/2( ) подставляем в w=1/z и получаем
Следовательно образом окружности (или прямой при =0)
При отображении w=1/z является окружность (прямая при =0) ■ Отметим что W=az+b/cz+d переводит окружности и прямые, проходящие через z0=-d/c в прямые, а остальные окружности и прямые – в окружности. Прямай – это окружность бесконечного радиуса – следовательно все окружности переходят в окружности J
27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
Точки M и M* симметричные относительно окружности Г, если они лежат на одном луче, выходящем из O, и OM х OM*=R2; Каждая точка окружности симметрична сама себе относительно окружности. Теорема. При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окр, переходят в пару точек, симметричных относительно образа этой окр. Здесь окружность может быть в частности и прямой. Чтобы доказать теорему надо сначала доказать лемму. Лемма: Точки M и M* являются симметричными тогда и тока тогда, когда любая - окружность, прох через точки, пересекается и Г под прямым углом.
□Необходимость. Пусть M, M* симм относительно Г радиуса R с центром в O. Рассмотрим проходящую через M и M*, проведем из O прямую, касающуюся в точке P. Т.к. квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть то OP2=OM x OM*. Так как точки симметричны отн Г то OP=R, следовательно окружности пересекаются под прямым углом. ■ □Достаточность. Любая окружность проходящая через M и M* пересекается с Г под прямым углом, тогда и любая прямая (частный случай окружности) прох через две эти точки, тоже пересекает Г под прямым углом. Значит прямая проходит центр окружности O. Более того, точки M и M* лежат на одном луче, выходящем из O, так как в противном случае окружность радиуса ½ MM* не пересекала бы Г под прямым углом. Докажем что OM х OM*=R2 : Пусть окружности пересекаются в точке P, тогда OP – касательная к и OM х OM*=R2 (по теореме о квадрате касательной) ■ Теперь имея лемму докажем Теорему о симметрии □Пусть точки z и z* симметричны относительно Г и пусть дробно-линейное отображение w=f(z) переводит Г в а точки z и z* в точки w и w* соответственно. В силу кругового свойства - окружность. Нужно доказать что w и w* симм отн . Для этого в силу леммы достаточно доказать что любая
прох через эти две точки, пересекает под прямым углом. Прообразом окружности
Является окружность прох через z и z* и эта окружность пересекает Г под прямым углом. Следовательно, и пересекаются тоже под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной компл плоскоти и сохраняет углы между кривыми в каждой точке! ■