- •1. Свойства сходящихся числовых рядов
- •2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
- •4.Признак Коши и Даламбера
- •7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •8. Признак Дирихле-Абеля
- •9. Перестановка членов сходящихся рядов.
- •12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
- •1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
- •13. Непрерывность суммы рсфр
- •15. Почленное дифференцирование рсфр
- •14. Почленное интегрирование рсфр
- •16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
- •17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
- •20.Основные элементарные фкп
- •21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.
- •22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.
- •23.Теорема о сопряженной гармонической функции.
- •24.Геометрический смысл производной гармонической функции.
- •25.Общие свойства конформных отображений.
- •26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
- •28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:
- •29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).
- •37.Теорема Морера.
- •38.Принцип максимума модуля.
- •39.Теорема Лиувилля.
- •40.Основная теорема алгебры
- •41.Равномерная сходимость рядов фкп.
- •42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
- •43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
- •46. Теорема Абеля.
- •47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
- •48.Теорема Тейлора.
- •49. Теоремы о нулях аналитической функции.
- •I. Теорема о нулях аналитической функции.
- •53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
- •54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
- •55.Теорема Сохоцкого.
- •56. Вычисление вычетов аналитической функции.
- •57. Основная теорема теории вычетов.
- •58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
- •59. Теорема единственности.
- •60.Аналитическое продолжение г-функции.
37.Теорема Морера.
Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти . □При условиях теоремы ,где -проихвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.
38.Принцип максимума модуля.
Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области. □ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точка обл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учтя (*): (**). Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■
39.Теорема Лиувилля.
Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■
40.Основная теорема алгебры
Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности). □Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет ! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■
41.Равномерная сходимость рядов фкп.
Кр.Коши: Ряд (*) равном.сход.в обл. если
при натурального.□(Необх.) Из равном. сход. (*) при , для натур. (Дост.)Из (**)по кр.Коши для числ.посл-ти с компл.числами , что при -сходится.Значит, при выполнении (**) ряд (*) сход. в к . НО в силу (**): при во всех точках обл-ти одновременно.■
42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
Если ф-ии непрерывны в обл. , а ряд сход.в ней равномерно к , то непрер. в обл-ти . □Рассм. , где принадлежат обл. .Т.к. равномерная сходимость ряда ,для можно указать такое , что имеем: для ,что .Т.к. непрерна,то в для заданного и выбранного можно указать такое , что при . Из всего этого для можно указать при .■