- •1. Свойства сходящихся числовых рядов
- •2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
- •4.Признак Коши и Даламбера
- •7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •8. Признак Дирихле-Абеля
- •9. Перестановка членов сходящихся рядов.
- •12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
- •1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
- •13. Непрерывность суммы рсфр
- •15. Почленное дифференцирование рсфр
- •14. Почленное интегрирование рсфр
- •16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
- •17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
- •20.Основные элементарные фкп
- •21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.
- •22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.
- •23.Теорема о сопряженной гармонической функции.
- •24.Геометрический смысл производной гармонической функции.
- •25.Общие свойства конформных отображений.
- •26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
- •28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:
- •29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).
- •37.Теорема Морера.
- •38.Принцип максимума модуля.
- •39.Теорема Лиувилля.
- •40.Основная теорема алгебры
- •41.Равномерная сходимость рядов фкп.
- •42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
- •43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
- •46. Теорема Абеля.
- •47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
- •48.Теорема Тейлора.
- •49. Теоремы о нулях аналитической функции.
- •I. Теорема о нулях аналитической функции.
- •53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
- •54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
- •55.Теорема Сохоцкого.
- •56. Вычисление вычетов аналитической функции.
- •57. Основная теорема теории вычетов.
- •58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
- •59. Теорема единственности.
- •60.Аналитическое продолжение г-функции.
43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
n(z) равномерно сходится к f(z); fn(z) аналитична в D D
(z)dz= n(z)
Un(x)-непрерывен на [a,b] ; n(x) равномерно сходится к S(x) на [a,b];
n(x)dx= (x)dx; □ Un(x)-непрерывен на [a,b]
А S(x) – непрерывна на [a,b]; (по теореме о непрерывности суммы)
1)Un(x), S(x)- непрерывны; S1 , S2 ;
2) n> ; x [a,b]: |S(x)-Sn(x)|<
Полученный ряд имеет n конечную сумму n= n(x)dx
| (x)dx- n|=| (x)dx- n(x)dx|=| (x)dx - n(x)dx|=| (x)- Sn(x)dx |<= |S(x)-Sn(x)|dx< (b-a) ■
44. 1-я теорема Вейерштрасса.
Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,а ряд сход.равномерно в замкн. подобласти обл-ти к ф-ии . Тогда: 1) -анал.ф-я в обл. . 2) . 3) Ряд сход. равномерно в замкн. подобласти обл-ти . □1) Рассм. внутр. ,построим односвяз.подобл. обл-ти ,содержащую внутри. -непрерывная ф-ия в обл-ти . Рассм. от по произв. контуру целиком.Т.к. в силу аналитичности : . Выполнены все усл-я т.Морера. -ф-ия аналит-ая в точки .Т.к. произвольная , -аналитическая в ■ □2) Фиксируем и выберем замкн.контур целиком и содержащим внутри. Миним. расстояние от до обозначим . Рассм. ряд . Т.к. ряд сход.равном. на в силу условий теоремы. Проинт.его почленно по и используя инт-л Коши,имеем: . Т.к. - обл-ти ,то доказано.■ □3) Рассм. подобл-ть обл-ти и постр.замкн.контур содержащий внутри, причём . Для имеем: .Причём -остаток ряда . В силу сходимости ,для можно указать такое , что на при будет равномерная оценка ,где -длина контура .Тогда , что и доказывает.■ Эти доказательства для односвязной обл. .Для многосв.рассматривается аналогично.
45. 2-я теорема Вейерштрасса.
Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,непрерывные в и ряд
сход.равномерно на границе этой обл-ти.Тогда ряд равном.сход. и в . □Разность частичных сумм данного ряда, ф-я ,как конечная сумма аналит-их ф-ий, явл.аналитической в и непрер.в .Из равном.сход. ,при для натурального и всех одновременно. По теор.о максимуме аналит-ой ф-ии при для натурального и для всех . Выполнен кр.Коши, что и доказывает теорему.■
46. Теорема Абеля.
Если степенной ряд сход. в некот. ,то он абсолютно сходится в ,удовлетворяющую причём в радиуса , ряд сходится равномерно.□Обозначим . Т.к. должен сходится, то при его члены . Тогда (*) . По условию сходится. Из (*) сходимость рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сход-ть в круге достаточно, по приз. Вайерштр., построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный ряд в рассматриваемой области. Такой ряд – это , тоже представляюет сумму бескон.геом. прогрессии со знаменателем ■
47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
ряд сходится(круг сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости), расходится.
Если не -формула Коши-Адамара.
Степенной ряд (1) внутри своего круга сходимости сходится к своей сумме f(z), которая является аналитической.
Внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кривой, целиком лежащей в круге сходимости и почленно дифференцировать любое количество раз, при этом вновь полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости.
Пр. 1) z R= , .