- •1. Свойства сходящихся числовых рядов
- •2. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое условие сходимости
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •5.Интегральный признак сходимости (Признак Коши - Маклорена)
- •4.Признак Коши и Даламбера
- •7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •8. Признак Дирихле-Абеля
- •9. Перестановка членов сходящихся рядов.
- •12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
- •1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
- •13. Непрерывность суммы рсфр
- •15. Почленное дифференцирование рсфр
- •14. Почленное интегрирование рсфр
- •16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
- •17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
- •20.Основные элементарные фкп
- •21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.
- •22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.
- •23.Теорема о сопряженной гармонической функции.
- •24.Геометрический смысл производной гармонической функции.
- •25.Общие свойства конформных отображений.
- •26. Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •27. Принцип сохранения симметрии при дробно-линейном отображении.
- •28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:
- •29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).
- •37.Теорема Морера.
- •38.Принцип максимума модуля.
- •39.Теорема Лиувилля.
- •40.Основная теорема алгебры
- •41.Равномерная сходимость рядов фкп.
- •42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.
- •43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.
- •46. Теорема Абеля.
- •47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.
- •48.Теорема Тейлора.
- •49. Теоремы о нулях аналитической функции.
- •I. Теорема о нулях аналитической функции.
- •53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
- •54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
- •55.Теорема Сохоцкого.
- •56. Вычисление вычетов аналитической функции.
- •57. Основная теорема теории вычетов.
- •58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.
- •59. Теорема единственности.
- •60.Аналитическое продолжение г-функции.
48.Теорема Тейлора.
, аналитическая внутри , может быть представлена в этом круге степ.рядом , причём он определён однозначно. □Выберем , построим окружность с центром в радиуса . Имеем (*). Преобразуем: (**). . по теор. Коши можно заменить на замкн.контур ,лежащим в . , аналитическая внутри , разлаг.в нём в сходящийся степ. ряд. Коэф-ты разложения . Докажем ! разложения. Пусть есть другое: где хотя бы один . Ряд сход-ся в . Из всего . ?!? ! доказана. ■
49. Теоремы о нулях аналитической функции.
Пусть f(z) аналитична в окрестности т. . Для того что бы была 0 функции кратности n чтобы в некоторой окружности т. f(z) имела бы вид , где , f(z) аналитична в U( )
I. Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть а- ноль функции порядка f (z) аналитична в точке а,а в самой точке f (a) = 0 => f (z) 0 в U(a)
y a такая окрестность, где нет больше нулей, кроме точки а; нули аналитической функции изолированы
1) f (z)= в U(a)
f(a) первый коэф. f (a)=0= в U(a)
2) f(z)
a – ноль порядка n => -аналитична в U(a) U(a) => f(z)
f(z) нет других нулей кроме а
нули аналит. функции изолированы друг от друга
II. Теорема о нулях аналитической функции (следствие).
аналитична в , и в
где
а-ноль f(z)
но начиная с некоторого № много => не изолированный ноль => то (по I. теор. о нулях)
Замечание: Если в Т II типа не аналитичной обл.D , то это любая точка f(z)
50.Теорема Лорана.
(1)
Ряд Лорана сх-ся, если сх-ся правильная и главная части.
Теорема. Если ряд Лорана сх-ся, то он сх-ся в некотором кольце.
f(z)=
Теорема Лорана. Если f(z)-аналит. в r< , то f(z)=
c
51.Неравенство Коши.
f(z) огран. в r< <R: M
-неравенство Коши
52.Классификация изолированных особых точек аналитической функции.
Опр. Пусть f(z)-аналит. : 0< .Тогда a-изолированная особая точка f(z).
Классификация изолированных особых точек:
1. a-устранимая особая точка(у.о.т.), если ; f(a)=A
2. a-полюс: ; a-полюс f(z) a-нуль
3. a-существенно особая точка(с.о.т.),
Пр. 1) f(z)= , z=0
f(z)={
2) f(z)= , b-полюс
3) f(z)=sin , z=0
не
f(z =sin f(z
53.Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
f(z)-аналит.
По т.Лорана:f(z)=
Т. a-у.о.т. в ряде Лорана в ) отсутствует главная часть разложения.
Док-во:
Необходимость. a-у.о.т. : в ) .
Достаточность. f(z)=
f(a)=c . Конец.
Замечание. У.о.т. будет, если в нек. окрестности .
54.Ряд Лорана в окрестности полюса.
Т. (критерий полюса): a-полюс f(z) в главной части ряда Лорана для f(z) конечное число членов.
(Н) a-полюс f(z) a-нуль : = , 0, )
f(z)=
(Д) f(z)=
f(z)= f(z)=
Опр. a-полюс f(z) степень m для наз-ся порядком полюса.Очевидно, если a-нуль порядка m для , то a-полюс порядка m для f(z).Очевидно, a-полюс f(z): ) f(z)= ,
Пр. f(z)= z=0;
Следствие. a-с.о.т. главная часть ряда Лорана содержала бесконечное число слагаемых.