13. Дискретное преобразование Фурье. Основные свойства.

Последовательность конечной длины N представляется периодической последовательностью периода N, один период которой совпадает с исходной. Следовательно, заданная последовательность будет иметь такое же представление по Фурье, что и периодическая.

Итак, рассмотрим последовательность конечной длины N, для которой всюду, за исключением интервала Соответствующая периодическая последовательность периода N, одним периодом которой является будет определяться следующим образом:

(1.113)

Так как имеет конечную длину N, то отсутствует перекрытие между членами для различных значений r. Поэтому данное выражение можно представить в виде

(1.114)

Как известно, выражение означает, что n представляет собой число, которое после многократного деления на N дает остаток a. Например или где k – целое число.

Последовательность конечной длины получается из выделением одного периода, т. е.

(1.115)

Для удобства введём прямоугольную последовательность

(1.116)

При такой записи будем иметь

(1.117)

Так как коэффициенты дискретного ряда Фурье периодической последовательности также являются периодической последовательностью периода N, то аналогичное представление используются и для них

(1.118)

Для периодических последовательностей и как известно справедливы соотношения:

(1.119)

Так как суммирование в этих выражениях распространяется только на интервал от 0 до N – 1, то из последних трёх равенств (1.117), (1.118) и (1.119) следует, что

формула анализа (1.120)

формула синтеза (1.121)

Эта пара выражений и есть дискретное преобразование Фурье (ДПФ), причём, первое из них называется прямым (формула анализа), а второе – обратным (формула синтеза).

Следует отметить, что различие между последовательностью конечной длины N и периодической последовательностью периода N невелико в том смысле, что обе они определяются только N значениями и поэтому различия между их Фурье-представлениями также невелики.

1.4.2.1. Свойства ДПФ. 1. Линейность. Если две последовательности конечной длины и линейно складываются так, что

то ДПФ этой последовательности будет определяться следующим образом:

(1.122)

где и – ДПФ последовательностей и соответственно.

Ясно, что если N₁ – число ненулевых отсчетов последовательности x₁(n), а– длина последовательности x₂(n), то длина их линейной комбинации будет равна Следовательно, формула (1.122) будет корректна в том случае, когда оба ДПФ в ее правой части вычисляется с одним и тем же параметром Если, например, то при вычислении ДПФ последовательность x₁(n) должна дополняться нулями до формальной длины N₂.

2. Круговой сдвиг последовательности. Пусть у нас имеется последовательность конечной длины ДПФ которой

В качестве примера возьмём последовательность следующего вида (рис. 1.20 а). Ее периодический аналог будет выглядеть так, как на рис. 1.20 б, а сдвинутая последовательность при m=2 представлена на рис. 1.20 в.

Сдвинутая последовательность конечной длины, которую обозначим через может быть получена из последовательности выделением одного периода на интервале как показано на рис.1.20 г, т. е.

(1.123)

Рис. 1.20. Круговой сдвиг последовательности конечной длины

Из верхнего и нижнего рисунков видно, что не соответствует линейному сдвигу и в действительности обе последовательности со­средоточены на интервале от 0 до N – 1. Сдвиг, конечно, происходит, но не линейный. Из средних двух рисунков видно также, что при сдвиге периодической последовательности, как только одна из выборок выходит из интервала от 0 до N – 1, точно такая же выборка входит в интервал с другого конца. Поэтому можно представить себе формирование из таким образом, что как только выборка выходит из интервала от 0 до N – 1 с одного конца, она входит в него с другого.

Для трактовки такого сдвига представим, что последовательность конечной длины расположена на поверхности цилиндра в N точках. При движении по поверхности цилиндра наблюдаемая последовательность будет периодической При этом линейный сдвиг периодической последовательности соответствует вращению цилиндра. Такой сдвиг последовательностей обычно называют круговым (циклическим) сдвигом.

В общем случае круговой сдвиг можно выразить следующим образом:

(1.124)

и

(1.125)

Так как коэффициенты ДРФ периодических последовательностей и связаны соотношением:

(1.126)

то,

(1.127)

Другими словами, ДПФ последовательности конечной длины, сдвинутой на m отсчетов вправо (влево) соответствует умножению ДПФ исходной последовательности на

3. Двойственность. Поскольку ДПФ тесно связано с коэффициентами дискретного ряда Фурье, то естественно ожидать, что и ему присуще свойство двойственности. Действительно, из сравнения формулы анализа (1.120) и синтеза (1.121) следует, что они отличаются друг от друга только множителем 1/N и знаком показателя экспоненты

Двойственность ДПФ можно получить на основе зависимости между ДПФ и ДРФ. Опуская достаточно простые рассуждения, свойство двойственности ДПФ можно сформулировать следующим образом: если последовательность конечной длины x(n) имее ДПФ X(k), то ДПФ последовательности X(n) будет равно Nx(–k mod N), Последовательность Nx(–k mod N) получается из Nx(k) обращением знаков у индексов по модулю N. Как и циклический сдвиг, это обращение лучше всего представлять исходя из подразумеваемой периодичности исходной последовательности.

Для иллюстрации двойственности ДПФ рассмотрим последовательность конечной длины, представленную на рис. 1.21а. Вещественная и мнимая части ее 10-точечного ДПФ X(k) показаны на рис. 1.21б и 1.21в. Обозначив горизонтальную ось на этих рисунках символом n вместо k, получим комплексную последовательность (рис. 1.21г и 1.21д). Согласно двойственности, 10-точечное ДПФ (комплекснозначной) последовательности совпадает с последовательностью, приведенной на рис. 1.21в.

4. Свойство симметрии. Если последовательность является дей­ствительной (вещественной), то её ДПФ являющееся комплексной величиной, удовлетворяет следующему условию:

(1.130)

Это значит, что ДПФ является сопряженно-симметрической относительно

Справедливы также выражения:

(1.131)

Как видно, модуль ДПФ является чётной функцией, а аргумент – нечётной.

Коэффициенты ДПФ с номерами от до могут рассматриваться как гармонические составляющие отрицательной частоты с номерами от до –1.

5. Круговая (циклическая) свёртка. Если последовательности и имеют дискретные преобразования Фурье и k = 0, 1, …, N – 1 соответственно, то последовательность заданная в виде их свёртки

(1.134)

будет иметь ДПФ заданное формулой

(1.135)

а последовательность

(1.136)

будет иметь ДПФ в виде свертки ДПФ исходных последовательностей

(1.137)

Этот вид свертки часто называют круговой, или циклической, сверткой.