Линейные дискретные системы с постоянными параметрами. Импульсная характеристика. Физическая реализуемость и устойчивость.
В общем случае дискретную систему
определяют как однозначное преобразование
или оператор, отображающий входную
последовательность чисел сигнал
в выходную
(отклик, или реакцию системы), что
символически можно записать в виде:
(1.17)
Графическое изображение дискретной системы представлено на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Условное обозначение дискретной системы
Различные классы дискретных систем определяются путём наложения ограничений на преобразование T. Наибольшее распространение в обработке сигналов получили линейные инвариантные относительно сдвига системы, которые к тому же ещё и сравнительно просты в математическом описании.
Класс линейных систем определяется
принципом суперпозиции. Если
и
– некоторые входные последовательности,
а
и
– соответствующие им отклики, то при
подаче на вход последовательности
на выходе образуется последовательность
для произвольных постоянных
и
.
С использованием
символического обозначения
будем иметь
(1.18)
Данное выражение объединяет оба свойства таких систем: свойство аддитивности и свойство однородности.
Системы инвариантные относительно
сдвига (стационарными системами или
системами с постоянными параметрами)
характеризуются тем, что если входной
последовательности
соответствует выходная последовательность
то входной последовательности
соответствует выходная последовательность
при любом
.
Для таких систем временной сдвиг
(задержка) входной последовательности
приводит к соответствующему сдвигу
выходной последовательности.
Свойства линейных стационарных дискретных
систем описываются с помощью импульсной
характеристики
которая является откликом системы на
единичный импульс
при нулевых начальных условиях
(1.19)
Признаком нулевых начальных условий является отсутствие отклика системы при отсутствии входного воздействия (принцип причинности).
Очевидно, что
(1.20)
При описании линейных дискретных систем
во временной области иногда используется
переходная характеристика
которая представляет собой реакцию
системы на единичную последовательность
(1.21)
Выразим входную последовательность через единичный импульс
(1.22)
и найдём выходную последовательность
(1.23)
Как видно, последнее выражение представляет собой свёртку последовательностей и которую для удобства будем часто представлять в символической форме
(1.24)
Осуществляя замену переменных в полученной формуле для получим следующее равносильное равенство:
(1.25)
Другими словами, линейная дискретная
система с постоянными параметрами и
импульсной характеристикой
при воздействии на её вход последовательности
будет иметь тот же выход, что и линейная
дискретная система с постоянными
параметрами и импульсной характеристикой
при воздействии на её вход последовательности
Две линейные системы с постоянными параметрами, включённые последовательно (каскадно), образуют линейную систему с постоянными параметрами и импульсной характеристикой, равной свёртке импульсных характеристик исходных систем (рис. 1.11). При этом результирующая импульсная характеристика системы не зависит от порядка, в котором включены исходные системы.
Рис. 1.12. Три линейные системы с постоянными параметрами с одинаковыми импульсными характеристиками
Из выражений для свёртки (1.23) и (1.25) следует также, что две линейные системы с постоянными параметрами включённые параллельно, эквивалентны одной линейной системе с импульсной характеристикой, равной сумме импульсных характеристик исходных систем (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Параллельное включение линейных систем с постоянными параметрами и их эквивалентная схема
Дополнительные ограничения физической реализуемости и устойчивости определяют практически важный, но более узкий класс линейных дискретных систем с постоянными параметрами.
Линейная дискретная система с постоянными
параметрами является физически
реализуемой, если её импульсная
характеристика
при
Другими словами, физически реализуемая
– это такая система, у которой изменения
на выходе не опережают изменений на
входе.
Устойчивой называют такую систему, для которой любая ограниченная входная последовательность создаёт ограниченную выходную. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является следующее требование к её импульсной характеристике:
(1.26)
Выполняется для устойчивых систем.
Большой класс линейных дискретных систем с постоянными параметрами можно описать с помощью линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Такое описание во многих случаях позволяет найти эффективные способы построения соответствующих устройств.