3. Математические модели решения экономических задач. Целевые функции, ограничения. Методы оптимизации.

В настоящее время экономист, менеджер может использовать при принятии решения различные компьютерные и математические средства. В памяти компьютеров может содержаться масса информации, организованная с помощью баз данных и других программных продуктов, позволяющих оперативно ею пользоваться. Экономико-математические и эконометрические модели позволяют просчитывать последствия тех или иных решений, прогнозировать развитие событий.

Сформулируем основные понятия, используемые в задачах оптимизации:

Управляемые переменные x₁, x₂,…, x_n – переменные, значения которых можно выбирать в определенных допустимых пределах;

ЛПР (лицо принимающее решение) – человек или группа людей, которые занимаются анализом и выбором значений управляемых переменных, обеспечивающих оптимальное решение;

Эффективное решение – набор значений управляемых переменных, который по некоторым соображениям ЛПР считает наиболее предпочтительными среди всех возможных решений;

Целевая функция задачи оптимизации – количественная мера оптимальности процесса;

Ограничения задачи оптимизации – совокупность условий (равенств, неравенств и т.п.), связывающих характеристики процесса и ограничивающих область изменения управляемых переменных;

Неуправляемые параметры – неизменяемые параметры процесса, значения которых известны;

Случайные факторы – факторы процесса, для которых ввиду их случайности неизвестны точные значения, но известен закон распределения вероятностей этих значений;

Неопределенные факторы – это факторы процесса, значения которых неизвестны;

Математическая модель оптимизации процесса – целевая функция и совокупность ограничений, зависящие от значений управляемых переменных, неуправляемых параметров, случайных и неопределенных факторов;

Допустимое решение – набор значений управляемых переменных, который удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации;

Оптимальное решение - набор значений управляемых переменных, который не только удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации, но и дает экстремальное значение целевой функции.

В зависимости от вида целевой функции, ограничений и присутствия случайных и неопределенных факторов оптимизационные модели можно в общем случае разделить на следующие классы:

• задачи математического программирования;

• задачи параметрического программирования;

• задачи стохастического программирования;

• оптимизационные задачи массового облуживания;

• задачи статистических игр.

Можно выделить несколько основных типов оптимизационных задач:

• задачи управления запасами;

• задачи распределения ресурсов;

• задачи ремонта и замены оборудования;

• сетевые оптимизационные задачи;

• задачи составления оптимальных расписаний;

• задачи оптимизации систем обслуживания;

• комбинированные задачи, объединяющие в себе черты задач разных типов.

Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков:

F (X) → max (min)

X Є A

Здесь Х - параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу - число, вектор, множество и т.п. Цель менеджера - максимизировать (минимизировать) целевую функцию F (X), выбрав соответствующий Х. При этом он должен учитывать ограничения X Є A на возможные значения управляющего параметра Х - он должен лежать в множестве А. Приведем основные виды оптимизационных задач менеджмента.