§ 5. Алгебраічны метад

6 ^{Гэты метад заключаецца ў наступным: пабудаванне шукаемай фігуры зводзіцца да}

^{пабудавання некаторага адрэзка ХУ; для чаго з дапамогаю тэарэм выражаюць даўжыню х}

гэтага адрэзка згодна з умовай задачы праз даўжыні а,b,…,l вядомых адрэзкаў некаторай формулай х = f(а,b,…,l ). Па атрыманай формуле будуюць аррэзак ХУ , а пасля і шукаемую фігуру.

Паўстае пытанне: якой павінна быць формула х = f(а,b,…,l), каб даўжыня х адрэзка не залежала ад адзінкі вымярэння даўжыні. Для гэтага неабходна і дастаткова (гл. [I], § 103, с. 308), каб выраз f(а,b,…,l) быў аднародным першай ступені, г.зн. f(tа,tb,…,tl ) = t f(а,b,…,l).

Ці заўсёды можна пабудаваць адрэзак лінейкай і цыркулем па формуле х = f(а,b,…,l),

калі выраз f(а,b,…,l) з’яўляецца аднародным першай ступені? Адказ дае (гд.[І], §104, .с.

313) тэарэма.

Адрэзак Х можна пабудаваць лінейкай і цыркулем тады і толькі тады, калі даўжыня х

яго выражаецца праз даўжыні дадзеных адрэзкаў, а таксама рацыянальныя лікі з дапамогай канечнага мноства арыфметычных аперацый (складання, адымання, множання і дзялення) і здабывання квадратных корняў.

Тэарэма дае магчымасць вырашыць пытанне аб тым, ці можна рашыць дадзеную задачу лінейкай і цыркулем. Для гэтага спачатку складаюць ураўненне выгляду P(x,а,b,…,l)=0, левая частка якога ў большасці выпадкаў ёсць многачлен адносна х. Калі існуюць корані гэтага ўраўнення такога выразу, як патрабуе тэарэма, то задачу можна рашыць цыркулем і лінейкай. У адваротным выпадку, калі даказана, што такіх кораняў не існуе, то задачу нельга рашыць лінейкай і цыркулем. І

Яшчэ ў старажытныя часы былі вядомы класічныя задачы на пабудаванне, якія нельга рашыць толькі лінейкай і цыркулем. Гэта задачы: I) аб удваенні куба,2) аб трысекцыі

вугла, 3) аб квадратуры круга. Адзначым яшчэ задачу аб дзяленні акружнасці на n роўных частак, або пабудаванне правільных многавугольнікаў. Крытэрый вырашальнасці гэтай задачы дае тэарэма Гауса (гл.[1], §105, c.317).

Пабудаваць правільны n - вугольнік лінейкай і цыркулем магчыма тады і толькі тады, калі лік n мае наступнае раскладанне на множнікі:

1

n  2 ^m p

^p₂ ^{... p} _s

дзе , m - цэлы неадмоўны лік, а г.зн. простыя лікі выгляду

k

₂² _{ 1}

p₁ p₂ ... p_s

- гэта розныя між сабою простыя лікі Ферма,

Прыклад:

1) лік 7 - просты, але ён не з’яўляецца простым лікам Ферма, пагэтаму лінейкай і

_{цыркулем нельга пабудаваць правільны 7-вугольнік.}

₇

Раздзел 2 пераўтварэнні плоскасці

§1. Адлюстраванні і пераўтварэнні мностваў пунктаў плоскасці.

_{Няхай дадзены два адвольныя непустыя мноствы X i Y. Калі элемент х X знаходзіцца ў}

_{некаторым дачыненні ∆ да элемента}

_{y Y , то кажуць, што элементу х адпавядае элемент}

y адносна ∆. Наглядна адпаведнасць можна паказаць з дапамогай стрэлак так

^{Х У}

_{Разгледзім прыватны выпадак адпаведнасці – адлюстраванне (ці інакш адвображанне).}

Калі кожнаму элементу

_{x  X}

_{адпавядае адносна ∆ некаторы адзіны пэўны элемент y Y ,}

_{то кажуць, што зададзена адлюстраванне мноства X у мноства Y.}

₈ ^{Х У}

_{Запісваюць гэта так}

_{X }^f _{Y ,або}

_{f : X  Y . Элемент y называецца вобразам}

элемента x, а элемент x называецца правобразам элемента y пры адвображанні f. Кажуць таксама, што элемент x адлюстроўваецца ў элемент y. Пишуць так y=f(x).

_{Мноства вобразаў усіх элементаў мноства X называецца вобразам мноства X.}

Абазначым яго f(X). Тады

_{f X   y }

_{f ( X ) / x  X  .}

Калі вобраз f(X) мноства X супадае з мноствам Y, г.зн. f(X)=Y, то f называецца адлюстраваннем мноства X на мноства Y, або інакш сюр’ектыўным адлюстраваннем.

А калі розныя элементы пераходзяць толькі ў розныя, то адлюстраванне f называецца біектыўным, або інакш узаемнаадназначным адлюстраваннем мноства X на мноства Y.

Тут кожнаму элементу мноства X ставіцца ў адпаведнасць па некатораму закону адзіны элемент мноства Y так, што пры гэтым кожны элемент мноства Y аказваецца суаднесеным з адзіным элементам мноства X.

_{Прыклады: 1) Адпаведнасць паміж мноствам R усіх сапраўдных лікаў і мноствам}

_{  }

_{пунктаў каардынатнай прамой  , е }

_{з’яўляецца узаемаадназначным адлюстраваннем.}

 

_{OM  x  e}

2) Адпаведнасць паміж мноствам усіх пунктаў каардынатнай плоскасці xOy і мноствам R² усіх пар (x,y) сапраўдных лікаў, разглядаемых у дадзеным парадку (лікавай плоскасцю), есць узаемнаадназначнае адлюстраванне.

^{ОМ  ОМх  ОМу  хе}₁ ^{ уе}₂

_{Няхай дадзена ўзаемнаадназначнае адлюстраванне}

_{f : X  Y . Разгледзім другое}

_{адлюстраванне}

_f ^1

_{па закону}

_f ^1 _{( y)  x}

_{, калі y=f(x). Яно з’яўляецца ўзаемна}

адназначным адлюстраваннем мноства Y на мноства X і называецца адваротным да адлюстравання f.

_{Адлюстраванне f мае адваротнае яму адлюстраванне f} ^1

₉ абарачальным, тады і толькі тады, калі яно ўзаемнаадназначнае.

, г. зн. з’яўляецца

Усялякае ўзаемнаадназначнае адлюстраванне f непустога мноства X на сябе называецца

_{пераўтварэннем гэтага мноства:}

_{f : X  X}

Пераўтварэнне E мноства X па Закону Е(х)=х для

_{х  Х}

называецца тоесным. Яно

пакідае нерухомым (інварыянтным) кожны элемент мноства Х.