§4. Некаторыя пераўтварэнні плоскасці.

Разгледзім некаторыя пераўтварэнні плоскасці.

1. Паралельны перанос.

Няхай дадзены вектар p ׀׀α. Відавочна, што адлюстраванне f плоскасці α на сябе па

_{закону: M’=f(M)  MM ' = p з’яўляецца пераўтварэннем плоскасці. Яно называецца}

^{11 паралельным пераносам плоскасці α, а p –вектарам пераноса. Кожны паралельны перанос}

плоскасці вызначаецца адпаведным яму вектарам пераносу.

_{Складзем аналітычныя выразы паралельнага пераносу плоскасці. Няхай у дэкартавай}

сістэме каардынат xOy пункт M(x, y) і p = ( x₀ ; y₀ ) . Тады M’(x’; y’)=f(M)

_{x'  x  x0}

 MM ' = p ;

_{MM ' =(x’-x; y’-y). Значыць }

_ ^{y'  y  y}0

(1)

Сапраўдным з’яўляецца і адваротнае сцвярджэнне. Таму (1)- аналітычны выраз паралельнага пераносу.

З (1) вынікае:

1). Перанос з’яўляецца тоесным пераўтварэннем плоскасці тады і толькі тады, калі

вектар пераносу p нулявы.

2). Калі p  0 ,то інварыянтныя пункты не існуюць.

3). Прамая адлюстроўваецца на паралельную ей прамую.

4). Прамая паралельная вектару p пераходзіць у сябе.

_{2. Сіметрыя адносна прамой або восевая сіметрыя.}

_М’ ^{На плоскасці α дадзена прамая. Для кожнага пункта}

M  l

паставім у адпаведнасць яму пункт M’такі, каб

MM '

 l і

^М ₀ ^l

ММ ₀  М ₀ М , дзе

М ₀  ММ 'l . Калі пункт M l , то яго вобраз

M’=M. Гэтая адпаведнасць з’яўляецца адлюстраваннем М ^{плоскасці на сябе, г. зн. пераўтварэннем плоскасці. Яно} называецца сіметрычнай адносна прамой l, ці інакш восевай

сіметрыяй.

Калі на плоскасці дэкартава сістэма каардынат xOy і воссю сіметрыі з’яўляецца каардынатная вось Oх, то аналітычныя выразы восевай сіметрыі маюць выгляд:

_{x'  x}

_

_ ^{y'   y}

(2)

З гэтага вынікае:

1) вось сіметрыі інварыянтная і апрача яе пунктаў іншых інварыянтных пунктаў няма.

2)прамая паралельная восі сіметрыі адлюстроўваецца на паралельную ёй прамую.

3)прамая перпендыкулярная восі сіметрыі пераходзіць сама ў сябе.

3. Сіметрыя адносна пункта або цэнтральная сіметрыя.

_{На плоскасці α дадзен пункт O . Разгледзім адвображанне f па}

^M’ _{закону:M’=f(M)  ОМ '  OM}

_{. Відавочна яно з’яўляецца пераўтварэннем}

_O ^{плоскасці α і называецца сіметрыяй адносна пункта O або цэнтральнай}

_M ^{сіметрыяй.}

_{Калі за цэнтр сіметрыі ўзяць пачатак каардынат O, то можна атрымаць аналітычныя}

выразы цэнтральнай сіметрыі

_{x'   x}

_

 ^{y'   y}

_{З гэтага вынікае:}

(3)

1)калі прамая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, то яна адлюстроўваецца на сябе.

_{2)калі прамая не прходзіць праз цэнтр сіметрыі, то яна адлюстроўваецца на}

^{12 паралельную ей прамую.}

_{4. Паварот плоскасці.}

_{На арыентаванай плоскасці α дадзены накіраваны вугал ABC}

калі M=0 ,

_{то R} ^ _{(O)=O. 2) калі, М≠0 то M’= R} ^ _{(M) тады і толькі тады, калі}

0

выконваюцца дзве ўмовы: А)адлегласць OM=OM’

Б) _{MOM '} = _ABC

0

і аднолькава з ім арынтаваны.

Гэта адвображанне з’яўляецца пераўтварэннем плоскасці α і называецца паваротам плоскасці, пункт O– цэнтрам павароту.

_{Няхай ў дэкартавай сістэме каардынат xOy пункт M(x, y). У выніку}

R

0

павароту ^

дэкартава сістэма каардынат xOy пераходзіць у дэкартаву

сістэмуx’Oy’ , пункт M пераходзіць у пункт M’ з тымі ж каардынатамі (x, y) у новай сістэме x’Oy’. У старой сістэме каардынат xOy M’(x’; y’). На падставе формул пераўтварэння каардынат для пункта M’ маем: ( старыя каардынаты выражаюцца праз новыя)

_{ x' x cos  y sin}

_

_ ^{y' x sin   y cos}

(4)

Мае месца і адваротнае сцвярджэнне. Таму (4) – гэта аналітычныя выразы павароту плоскасці.

_{Слізготная або коўзкая сіметрыя.}

^{Няхай S}_l

– гэта сіметрыя адносна прамой l, а T– паралельны перанос, які вызначаецца

ненулявым вектарам p ׀׀l.

Кампазіцыя f=T◦ S_l называецца слізготнай або коўзкай сіметрыяй а таксама яшчэ слізготным адбіццём.

М

^~ p M’

l

Выведзем аналітычныя выразы слізготнай сіметрыі. Няхай у дэкартавай сістэме каардынат xOy пункт M(x, y). Каардынатная вось Oх

_{з’яўляецца воссю сіметрыі p = x0 i}

^M _Тады

і – гэта вектар пераносу.

_{y M } ^~_{x  x}

_{x' } ^~_{x  x}

^l ~

_{S : }

М

 ^{y   y}

₀

^{T :} _

^

y'  ^~y

0

_{O х} ^{Слізготная сіметрыя}

_{x'  x  x}

^{f  T  S}_l

М

^~ M’

Таму

^{f :} _



y'  y

⁰ ₍₅₎

(5)-гэта аналітычныя выразы слізготнай сіметрыі. З гэтага вынікае:

1. вось l – інварыянтная прамая.

2. прамая d׀׀lадлюстроўваецца на прамуюd '׀׀ l.

_{3. прамая n  l пераходзіць у прамую n’  l}

4. сярэдзіна

^М ₀ ^{кожнага адрэзка MM’ належыць восі l.}

_{5. не існуюць інварыянтныя пункты.}

₁₃