§ 10. Афінныя пераўтварэнні плоскасці.

Няхай на плоскасці зададзены два афінныя рэперы:

R  (O, A₁ , A₂ )

і R'  (O', A₁ ', A₂ ' ) .

_{Разгледзім адлюстраванне f плоскасці на сябе па закону: калі ў рэперы R пункт}

_{M ( x; y)}

_{, то яго вобраз}

_{f (M )  M ' ( x; y)}

_{у рэперы R’. Яно называецца афінным}

пераўтварэннем плоскасці. Відавочна, што

O' 

f (O), A'₁ 

f ( A₁ ), A'₂ 

f ( A₂ )

. Таму

_{R' }

_{f ( R) .}

_{З азначэння вынікае, што фігура}

_{' }

_{f ()}

_{у рэперы R’ вызначаецца тым жа}

раўнаннем, што і фігура  у рэперы R. Таму пры афінным пераўтварэнні прамая пераходзіць у прамую. Гэту ўласцівасць часам прымаюць за азначэнне афіннага пераўтварэння плоскасці.

_Няхай

_{A' }

_{f ( A), B' }

_{f (B), C' }

_{f (C ) . Калі}

_{AC    CB}

_{, то каардынаты вектараў}

_{A'C' ,}

_{C' B' , а таму і самыя гэтыя вектары знаходзяцца ў гэтай жа лінейнай залежнасці, а}

_{менавіта,}

_{A' C'    C' B' .}

Такім чынам, афіннае пераўтварэнне плоскасці захоўвае стасунак, у якім пункт дзеліць дадзены адрэзак. Таму пры афінным пераўтварэнні інварыянтным з’яўляецца дачыненне “ляжаць паміж”. З гэтага вынікае, што адрэзак пераходзіць у адрэзак, прамень у прамень, прамая ў прамую, паўплоскасць у паўплоскасць, вугал у вугал, паралельныя прамыя ў паралельныя прамыя.

Напрыклад, медыяна трохвугольніка пераходзіць у медыяну, паралелаграм ( у тым ліку прамавугольнік, ромб і квадрат) пераходзіць у паралелаграм, трапецыя – у такую трапецыю, што пункт перасячэння яе дыяганалей дзеліць іх у тых жа стасунках як і ў

_{дадзенай трапецыі.}

₁₈ Калі ў рэперы R пункт

M ( x; y) , то яго вобраз

f (M )  M ' ( x; y)

у рэперы

R' 

f ( R) .

_{Няхай у рэперы R}

_{M '( x'; y' ) . Паводле формул пераўтварэння афінных каардынат для}

_{пункта M '}

_{пры пераходзе ад рэпера R да рэпера R’маем}

_ x'  ₁₁ x   ₂₁ y  x₀ ,

_

_ ^{y'  }12 ^{x  } 22 ^{y  y}0 ^,

^11

^12

^{ 21} _{ 0}

^ ₂₂

Выконваецца і адваротнае. Таму гэта есць аналітычныя выразы афіннага пераўтварэння плоскасці.

_{Заўважым, што кардынаты}

_{( x'; y' )}

_пункта

_{M ' }

_{f (M ) выражаюцца праз каардынаты}

(x;y) пункта M лінейнымі функцыямі ад двух аргументаў. Таму афінныя пераўтварэнні плоскасці называюцца яшчэ інакш лінейнымі пераўтварэннямі.

Як вынікае з аналітычных выразаў пераўтварэнняў падобнасці і рухаў, гэтыя

пераўтварэнні з’яўляюцца прыватнымі відамі афінных пераўтварэнняў.

Абазначым праз A – мноства ўсіх афінных пераўтварэнняў плоскасці. Дакажам, што

мноства A есць група.

_{Афіннае пераўтварэнне f цалкам вызначаецца ўпарадкаванай парай двух адпаведных}

_{афінных рэпераў}

_{( R, R' ) .Няхай афіннае пераўтварэнне g пераводзіць рэпер}

_{R' у рэпер}

R" . Тады кампазіцыя

g  f

пераводзіць рэпер R у рэпер R"

і вызначаецца парай

_{афінных рэпераў}

_{(R, R")}

_{і таму з’яўляецца афінным пераўтварэннем. Значыць,}

f , g  A  g  f  A .

_{Пераўтварэнне}

_f ^1

_{вызначаецца парай афінных рэпераў}

_{( R' , R)}

_{і таму яно афіннае.}

_{Значычь,}

_{f  A }

_f ^1 _{ A .}

Такім чынам, мноства A усіх афінных пераўтварэнняў плоскасці з’яўляецца групай. Асноўны інварыянт гэтай групы – гэта стасунак, у якім пункт дзеліць адрэзак. Група  пераўтварэнняў падобнасці, група рухаў P і іх падгрупы з’яўляюцца падгрупамі групы A афінных пераўтварэнняў плоскасці.

СПИСОК

основной и дополнительной литературы

по дисциплине «Аналитическая геометрия и преобразования плоскости»

Основная литература

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: В 2 ч. М., Просвещение, 1986,

4.1,336 с, 1987. 4.2.- 3 5 2 с.

2. Жафяров А.Ж. Геометрия: В 2 ч.: Сибирское университетское издательство. Новосибирск, 2002. 4.1. - 271 с, 2003. 4.2. - 267 с.