§ 2. Алгебраічная аперацыя. Група і падгрупа пераўтварэнняў мноства.

Дадзена непустое мноства X . Няхай X² - гэта дэкартавы квадрат мноства X, г. зн. мноства ўсіх упарадкаваных пар х₁ , х₂  элементаў мноства X.

_{Адвображанне}

_{ : Х} ² _{ Х}

_{называецца алгебраічнай або бінарнай аперацыяй,}

вызначанай на гэтым мностве.

Алгебраічная аперацыя ставіць у адпаведнасць любой упарадкаванай пары элементаў мноства Х некаторы адзіны трэці элемент з гэтага ж мноства Х.

Прыклады: 1) складанне вектараў есць алгебраічная аперацыя.

_{2) множанне двух цэлых лікаў з’яўляецца алгебраічнай аперацыяй.}

(х₁ , х₂ )

Групай называецца пара (G,  ), дзе G- гэта непустое мноства, на якім зададзена алгебраічная аперацыя  , калі выконваюцца тры ўмовы:

1. аперацыя  асацыятыўна, г. зн. для  а, b, с  G  [  (a, b), c ]=  [a,  (b, c)]

_{2.у мностве G есць нейтральны элемент е , г. зн. такі, што  (а, е)=а для  а G.}

_{3.для кожнага элемента а G існуе сіметрычны элемент}

_а ^' _{, г. зн. такі што  (а, а}^' _)=е.

Калі у групе G выконваецца ўмова  (а, b)=  (b, а), то група G называецца камутатыўнай або абелевай.

Напрыклад, мноства вектароў плоскасці з аперацыяй складання вектараў з’яўляецца камутатыўнай групай.

Няхай H  G , H- непустое мноства. Калі (H,  )- група, то яна называецца падгрупай

групы (G,  ). Часам групу абазначаюць толькі як мноства H або G , калі аперацыя 

падразумеваецца.

Тэарэма (Крытэрый падгрупы). Непустое мноства H групы G з’яўляецца падгрупай гэтай групы, калі выконваюцца дзве ўмовы:

_{1) a H b H   (а, b)  H}

2) a H  а ^{ 1}  H ,дзе

_Доказ.

а ^{ 1} - гэта сіметрычны элемент, г. зн.  (а, а ^1 )=е.

_{На мностве H вызначана алгебраічная аперацыя  , пры гэтым яна асацыятыўна.}

Няхай a H , тады паводле ўмовы 2)

_H.

а ^{ 1}  H , а згодна з умовай 1)  (а,

а^' ) H , г. зн. е

Такім чынам, выкананы ўсе ўмовы, якія вызначаюць групу. Таму (H,  )- група, значыць H есць падгрупа групы G.

§ 3. Група пераўтварэнняў плоскасці. Геаметрыі групы і падгрупы.

₁₀

Будзем разглядаць плоскасць як мноства яе пунктаў. Абазначым праз G мноства ўсіх пераўтварэнняў плоскасці. Увядзем у мностве G бінарную аперацыю наступным чынам. Няхай f, g G. Кожнаму пункту М плоскасці паставім у адпаведнасць пункт М” па закону: М’=f(M) , M”=g(M’), тады M”=g(f(M)).

Тут вызначаецца новае пераўтварэнне плоскасці, якое адлюстроўвае пункт M у пункт M”. Яно з’яўляецца вынікам паслядоўнага прымянення спачатку пераўтварэння f, а потым пераўтварэння g. Яно абазначаецца g◦f і называецца кампазіцыяй (або здабыткам) пераўтварэнняў f і g . Такім чынам g◦f(x)=g(f(x)). Г. зн. на мностве G вызначына бінарная аперацыя- множанне пераўтварэнняў.

Можна даказаць, што мноства G адносна кампазіцыі пераўтварэнняў з’яўляецца

_{групай. Нейтральны элемент гэтай групы – тоеснае пераўтварэнне E плоскасці, а для}

_{пераўтварэння f сіметрычным элементам з’яўляецца адваротнае пераўтварэнне}

_f ^1 _.

Непустое мноства F плоскасці называецца эквівалентным мноству F’ адносна групы G, калі ў групе G існуе такое пераўварэнне, якое мноства F адлюстроўвае ў мноства F’. Дзве фігуры F і F’ эквівалентныя адносна групы G называюцца G-эквівалентнымі.

Геаметрыяй групы G называецца вучэнне аб тых уласцівасцях фігур і звязаных з фігурамі велічынях, якія інварыянтныя ( захоўваюцца) пры ўсіх пераўтварэннях групы G. У геаметрыі групы G толькі гэтыя ўласцівасці і велічыні называюцца геаметрычнымі.

Няхай H – падгрупа групы G пераўтварэнняў плоскасці. Разгледзім геаметрыі гэтых

дзвюх груп.

_{Групы Геаметрыі}

_G H

H

_G

Усякая тэарэма геаметрыі ўсей групы G апісвае некаторыя ўласцівасці фігур, якія захоўваюцца пры ўсіх пераўтварэння групы G, а таму яны інварянтныя і пры ўсіх

пераўтварэннях яе падгрупы H. Значыць, усе тэарэмы геаметрыі групы G выконваюцца і ў геаметрыі падгрупы H. Таму геаметрыя усей групы G есць частка геаметрыі падгрупы H Адваротнае не мае месца. Сапраўды, уласцівасці фігур інварыянтныя толькі пры пераўтварэннях падгрупы H могуць не захоўвацца тымі пераўтварэннямі групы G, якія не ўваходзяць у падгрупу .

Такім чынам, геаметрыя групы G – гэта раздзел геаметрыі падгрупы H. Значыць, чым шырэйшая група, тым бяднейшая яе геаметрыя. Але гэта больш бедная зместам геаметрыя мае сваім прадметам больш глыбокія і трывалыя ўласцівасці фігур, інварыянтныя пры пераўтварэннях усей групы G.

Ідэя аб тым, што розным геаметрыям можна суаднесці пэўныя групы пераўтварэнняў і што кожнай групе належыць свая геаметрыя была выказана ў 1872 годзе нямецкім геометрам прафесарам Феліксам Клейнам у яго “Эрлангенцкай праграме”.

Заўважым, што апрача групавога пункту погляду на геаметрыю есць яшчэ іншы больш

агульны пункт погляду Д.Гільберта, дзе ў падмурак геаметрыі пакладзена структура прасторы, вызначанай некаторай пэўнай сістэмай аксіем. Тады геаметрыя- гэта тэорыя структур пэўнага роду, вазначаная сістэмай аксіем.