- •Ду: порядок ду, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл. Определение д.У. Порядок д.У. Общее и частное решение д.У.
- •Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
- •Однородные ду первого порядка
- •Линейные ду первого порядка
- •2. Решение лду 1ого порядка.
- •2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •2.2. Метод Якова-Бернулли
- •Ду с разделяющимися переменными и его решение.
- •Ду второго порядка, его общее и частное решение. Простейшее ду второго порядка и его решение.
- •Линейные ду второго порядка: определение, виды.
- •Решение лоду второго порядка с пк
- •Предмет и задачи теории вероятностей. Области применения методов теории вероятностей.
- •Области применения методов тв
- •Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.
- •2 Раздела Теории вероятностей:
- •Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
- •Классический
- •Геометрический
- •Статистический
- •Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
- •Перестановка
- •Размещение
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
- •Теорема сложения.
- •Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
- •Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
- •Условная независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Теорема гипотез (формула Байеса)
- •Формула Бернулли и следствие из нее.
- •Дискретные св и законы их распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Ряд распределения
- •Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике св. Закон распределения дискретных св.
- •Биномиальный закон (я.Бернулли)
- •Закон Пуассона
- •Непрерывная св и ее законы распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Числовые характеристики положения св.
- •Характеристики положения св
- •Числовые характеристики рассеивания св.
- •Дисперсия
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение нлду 2ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение yоднор:
Дискретные св и законы их распределения.
cB-величина, кот в рез-те опыта может принимать то или иное значение неизвестно заранее какое именно(№:выпадание чисел при брос игральн карты)
Примеры случайных величин: Число выпавших очков при подбрасывании игральной кости (значения: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6), Число попаданий в цель при n выстрелах (значения: 0, 1, 2,…, n), Количество бракованных изделий в партии (значения: 0, 1, 2,…, n), Ошибки при измерении физической величины.
Виды СВ: 1. Дискретные
Непрерывные
Дискретные-величина,кот в рез-те опыта может принимать только конечное или счетное число значений(№:выпад чисел при однократ бросании кости)
Примеры дискретных случайных величин:
число попаданий при n выстрелах: Х={0,1,2…n};
число очков при бросании игральной кости: Х={0,1,2,3,4,5,6}
Непрерывная-величина.кот может принимать любое знач-е в пределах некоторого промежутка(№:отклонение снаряда от цели при 1 выстреле)
Полной, исчерпывающей хар-кой CB явл закон распредел-я СВ
Закон распредел-я СВ-соотношение, устанавливающее связь м/д возможными значениями случ величины и отличающими их вероятностями.
Формы законов распределения св
Для дискретных СВ сущ формы:
Ряд распределения
Х-СВ |
х1 |
Х2 |
… |
хn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
-событий
Многоугольник распределения-графическое изображение выражения ряда распределения.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Функция распределения-вероятность события сост в том, что случайная величина Х примет значение меньшее фиксируемого значения х.
*вероятность не м.б. >1
Свойства:
Возрастающая по своему физическому смыслу
F(-∞)=0 F(+∞)=1
F(x1)= P(Х<x1)=Р(-∞<X<х1)
F(x2)= P(Х<x2)=Р(-∞<X<х2)
Р(х1<=X<x2)= F(x2)-F(x1)
Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике св. Закон распределения дискретных св.
Биномиальный закон (я.Бернулли)
Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0,1,2,n (конечно число значений) и отвечающие им вероятности рассчит по формуле: Рm=P(X=m)=Cnmpmqn-m
P(X=m)-вероятность того,что СВ примет значение равное m
р-вероятность появления события А в одном опыте
q=(1-р)-вероятность не появл-я -//-
n-число проведенных опытов
*Р-не изм в каждом опыте. Все проводимые опыты должны провод в одинак условиях. №: на практике при контроле партии: выним из коробки,проверяют,записывают,кладут обратно в коробку. Затем берут др и тд. Если брак запис и возвр в контрол партию, тогда число подчин биномиальн закону.
Хар-ки закона:
M(x)=n*p-мат ожидание Dx=h*p*q-дисперсия σх=√ h*p*q-среднее квадратическое отклонение
Закон Пуассона
Распределение Пуассона-предельное распределение,к кот стремится биномиальное распределение. При увел числа n опытов и одновременном уменьшении вероятности появления события в одном опыте. n→∞, p→0
закон Пуассона часто называют ЗАКОНОМ РЕДКИХ СОБЫТИЙ, т.к. вероятность столь мала.
СВ X имеет распределение Пуассона если ее возможные значения в серии из n испытаний: X 0,1,2,…m, … а соответствующие им вероятности: Рm= P(X=m)=(am:m!)e-a
a-параметр закона Пуассона a=n*p e-иррац число (2ой замечат предел) 2<e<3 n-число которое примет х
Хар-ки закона:
M(x)=a-мат ожидание
Dx=a-дисперсия
σч=√ a-среднее квадратическое отклонение
на практике данный закон применяется при многократном контроле продукции прибором высокой надежности (многокр контроль m→∞, p→0, вероятность отказа стрм к 0)