- •Ду: порядок ду, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл. Определение д.У. Порядок д.У. Общее и частное решение д.У.
- •Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
- •Однородные ду первого порядка
- •Линейные ду первого порядка
- •2. Решение лду 1ого порядка.
- •2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •2.2. Метод Якова-Бернулли
- •Ду с разделяющимися переменными и его решение.
- •Ду второго порядка, его общее и частное решение. Простейшее ду второго порядка и его решение.
- •Линейные ду второго порядка: определение, виды.
- •Решение лоду второго порядка с пк
- •Предмет и задачи теории вероятностей. Области применения методов теории вероятностей.
- •Области применения методов тв
- •Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.
- •2 Раздела Теории вероятностей:
- •Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
- •Классический
- •Геометрический
- •Статистический
- •Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
- •Перестановка
- •Размещение
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
- •Теорема сложения.
- •Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
- •Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
- •Условная независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Теорема гипотез (формула Байеса)
- •Формула Бернулли и следствие из нее.
- •Дискретные св и законы их распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Ряд распределения
- •Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике св. Закон распределения дискретных св.
- •Биномиальный закон (я.Бернулли)
- •Закон Пуассона
- •Непрерывная св и ее законы распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Числовые характеристики положения св.
- •Характеристики положения св
- •Числовые характеристики рассеивания св.
- •Дисперсия
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение нлду 2ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение yоднор:
Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
Теорема сложения.
Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В
Пример:
А-событие вынуть из колоды красную карту
В-событие вынуть туза
(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)
С=А+В
Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:
Р(сверху n,снизу i=1)Аi=(сверху n,снизу i=1) Р(Аi)
Пример:
Произв выстрел по мешени сост из 3х зон
Вероятность попадания в первую зону-0,1
Во вторую-0,3
В третью – 0,4
Определ вероятность попадания в мешень.
Обозначение событий и их вероятностей.
А1-событие попадания в первую зону
А2-во вторую
А3-в третью
А-событие попадания в мешень
Составим расчетную формулу:
А=А1+А2+А3
А1,А2,А3-несовместные события
Р(А)= Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)
Расчет:
Р(А)=0,1+0,3+0,4=0,8(80%)
Противоположные события-если они несовместные и образуют полную группу.
А(с – сверху)-противоположное событие
Следствие 1 из теоремы 1:
Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1
Док-во:
Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)
* Событие назыв достоверным ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)
События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:
Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1
Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:
p+q=1,
где р- вероятность того, что событие А произошло; q - вероятность того, что событие А не произошло.
Следствие 2 из теоремы 1:
Если событие А1,А2, … Аn образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1
(сверху n,снизу- i=1) Р(Аi)=1
* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице
Пример:
Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:
Р(А с -)=1-Р(А)=1-0,8=0,2(20%)
Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.
Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
Теорема умножения вероятностей.
О. событие А независимое от В, если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В.
Условная вероятность-Р(А/В)-вероятность события А выше при условии что событие В произошло.