- •Ду: порядок ду, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл. Определение д.У. Порядок д.У. Общее и частное решение д.У.
- •Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
- •Однородные ду первого порядка
- •Линейные ду первого порядка
- •2. Решение лду 1ого порядка.
- •2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •2.2. Метод Якова-Бернулли
- •Ду с разделяющимися переменными и его решение.
- •Ду второго порядка, его общее и частное решение. Простейшее ду второго порядка и его решение.
- •Линейные ду второго порядка: определение, виды.
- •Решение лоду второго порядка с пк
- •Предмет и задачи теории вероятностей. Области применения методов теории вероятностей.
- •Области применения методов тв
- •Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.
- •2 Раздела Теории вероятностей:
- •Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
- •Классический
- •Геометрический
- •Статистический
- •Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
- •Перестановка
- •Размещение
- •Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
- •Теорема сложения.
- •Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
- •Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
- •Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
- •Условная независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Теорема гипотез (формула Байеса)
- •Формула Бернулли и следствие из нее.
- •Дискретные св и законы их распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Ряд распределения
- •Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике св. Закон распределения дискретных св.
- •Биномиальный закон (я.Бернулли)
- •Закон Пуассона
- •Непрерывная св и ее законы распределения.
- •Формы законов распределения св
- •Числовые характеристики положения св.
- •Характеристики положения св
- •Числовые характеристики рассеивания св.
- •Дисперсия
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение нлду 2ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение yоднор:
Ду первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.
ДУ первого порядка – уравнение вида: F(x,y, yʹ)=0 где х – независимая переменная; у – искомая функция; у¢ – ее производная.
Решением д.у. первого порядка назыв функция y=j(x,С) зависящая от одной произвольной постоянной С и кот при подстановке в ДУ обращает его в верное равенство. (и удовлетворяющая ДУ при любом конкретном значении С)
Частным реш-ем ДУ первого порядка является функция y=j(x,С0) получаемая из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.
Соотношение вида Ф(х,у,С)=0 называется частным интегралом ДУ первого порядка.
Если ДУ первого порядка разрешено относительно производной yʹ=f(x,у), оно называется ДУ решенным относительно производной.
Другие формы записи ДУ первого порядка: dy/dx=f(x,у), P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0
Равенство вида Ф(х,у,С)=0 неявно задающее общее решение ДУ, называется общим интегралом ДУ.
Решение ДУ в виде общего интеграла получают, когда выразить у из соотношения Ф(х,у,С)=0 в элементарных функциях не представляется возможным.
Однородные ду первого порядка
О. Уравнение первого порядка yʹ=f(x,у), называется однородным относительно x и y, если функцию f(x,у) можно представить как функцию отношения y/х , т.е. в виде f(x,у)=j( y/х),
Существует еще один признак однородного уравнения. Если уравнение yʹ=f(x,у) или уравнение P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 не меняется при замене x на λx и у на λу, то такие уравнения называются однородными.
Подстановка y/х=t→y=tx→ yʹ=tʹx+t приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: tʹx+t=j(t)
Разделив переменные, получим:dt/(j(t)-t)=dx/х
Интегрируя последнее уравнение, найдем: ∫dt/(j(t)-t)=∫dx/х
Подставляя после интегрирования вместо t отношение у/х, получим интеграл уравнения.
Линейные ду первого порядка
1.О. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной yʹ, т.е. уравнение вида:
yʹ+ P(x) y=Q(x),
где P(x) и Q(x)– заданные непрерывные функции от х (или постоянные).
Если правая часть данного ур-я =0, т.е. Q(x)=0, то такое ДУ yʹ+ P(x) y=0 называется однородным линейным ДУ первого порядка.
yʹ+ P(x) y=Q(x)- неоднородное ЛДУ первого порядка
Линейным данное ур-е называется потому что искомая функция у и ее производная yʹ входят в первую степень и не содержат членов содержащих yyʹ
2. Решение лду 1ого порядка.
2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
Последовательность решения ЛНДУ методом Лагранжа заключ в следующем:
В начале решается соответствующее исходному неоднородному ДУ однородное ДУ
yʹ+ P(x) y=0
dy/dx=- P(x) y |dx |:y
∫dy/y=- ∫P(x) dx
ln|y|=-lne P(x) dx+ln|C|
|y|=| Ce-∫ P(x) dx|
y= ±Ce-∫ P(x) dx ±C=C1
y= C1e-∫ P(x) dx
с этого момента начинается вариация произвольной С1
С1=С1(х)-т.к. С1-любое значение
Тогда: y= C1(х)e-∫ P(x) dx
Будем полагать что данное решение является решением иходного неоднородного ДУ, подставим его в yʹ+ P(x) y=Q(x) и определим закон изм-я произв постоянной С1(х).
Для этого найдем производную yʹ
yʹ=производная первого на второе+производная второго на первое(y= C1(х)e-∫ P(x) dx)
yʹ= C1ʹ(х)e-∫ P(x) dx- C1(х)Р(х)e-∫ P(x) dx
подставим полученные выражения в yʹ+ P(x) y=Q(x)
yʹ= C1ʹ(х)e-∫ P(x) dx- C1(х)Р(х)e-∫ P(x) dx
y= C1(х)e-∫ P(x) dx , тогда:
C1ʹ(х)e-∫ P(x) dx- C1(х)Р(х)e-∫ P(x) dx+ P(x)C1(х)e-∫ P(x) dx =Q(x)
C1ʹ(х)e-∫ P(x) dx=Q(x) | e∫P(x) dx
C1ʹ(х)= Q(x) e∫P(x) dx
d C1(х)/dx= Q(x) e∫P(x) dx |dx
∫d C1(х)= ∫Q(x) e∫P(x) dxdx
C1(х)= ∫Q(x) e∫P(x) dxdx +C2
Подставим полученное выражение в выражение y= C1e-∫ P(x) dx
y=( ∫Q(x) e∫P(x) dxdx +C2)e-∫ P(x) dx
пример:
уʹ+3у=е2х
уʹ+3у=0
у=С1е-3х (это реши сам)
пусть С1 изм по вариации С1=С1(х), тогда реш-е однородного ур-я можно записать в виде:
у=С1(х)е-3х-будем полагать что это общее решение исходного неоднородного ду.
Подставим его в исходное неоднор ур-е и найдем закон изменения С1(х).
уʹ= С1ʹ(х)е-3х-3 С1(х)е-3х
подставим значения у и уʹ в исходное:
С1ʹ(х)е-3х-3 С1(х)е-3х+3 С1(х)е-3х=е2х
С1ʹ(х)е-3х=е2х |е3х
С1ʹ(х)= е5х
Разделим переменные:
d C1(х)/dx= е5х |dx
∫d C1(х)= ∫ е5х dx
C1(х)=1/5 е5х +С2
Подставим значение C1(х) в у=С1(х)е-3х. получим:
у=(1/5 е5х +С2) е-3х