1.2. Применение закона Био – Савара – Лапласа к расчету магнитных полей

Рассчитать магнитное поле в данной точке – значит найти в этой точке модуль и направление вектора . В общем случае это довольно сложная задача, связанная с интегрированием век­торных величин. В ряде частных случаев решение оказывается простым.

П ример 1. Магнитное поле прямолинейного тока

О

Рисунок 1.5

бозначим через I ток в проводнике; – кратчайшее расстояние от проводника до точки А, в которой определяется ; ₁ и ₂ – углы между радиусами-векторами, проведенными от концов проводника в точку , и направлением тока в проводнике (рис. 1.5).

Согласно выражению (1.4)

=  d .

Так как все элементы рассматриваемого тока лежат в одной пло­скости (в плоскости чертежа), то все d имеют одинаковое на­правление. Следовательно, модуль результирующей индукции В равен интегралу модулей dB:

B =  dB. (1.5)

Согласно выражению (1.3)

dB = ₀ Idl sin /4 r². (1.6)

Выразим и через . Из рисунка 1.4 видно, что

; .

Подставим эти выражения в формулу (1.5) с учетом выражения (1.6) и проинтегрируем по от до и окончательно получим

. (1.7)

Для бесконечно длинного провода = 0, . Следовательно:

. (1.8)

Пример 2. Магнитное поле на оси кругового контура с током.

Пусть – радиус контура; – расстояние от центра контура до точки, в которой опреде­ляется ; – ток в контуре (рис. 1.6).

Выделим произвольный элемент тока . Разложим создавае­мую этим элементом индукцию d на две составляющие: , параллельную оси контура, и , перпендикулярную к ней. Составляющая компенсируется составляющей , созда­ваемой диаметрально противоположным элементом .

Рисунок 1.6

Результирующая индукция направлена вдоль оси контура. Модуль _B равен сумме модулей всех _dB:

Как видно из рис. 1.6,

^{. (1.9)}

По закону Био – Савара – Лапласа:

(угол α между Idl и r – прямой). Подставив это выражение в формулу (1.9) и проинтегрировав его по от 0 до 2πr₀, получим

.

После взятия интеграла с учетом того, что , имеем:

. (1.10)

В центре контура h = 0 и индукция будет

. (1.11)

1.3. Циркуляция вектора магнитной индукции. Вихревой характер магнитного поля

Если каждой точке Р с координатами x, y, z сопоставляется векторная величина = (x, y, z), говорят, что задано векторное поле . Выберем в векторном поле произвольный замкнутый контур L. Интеграл вида , взятый по этому контуру, называется циркуляцией вектора .

Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции Рассмотрим магнитное поле стационарного тока проводимости I, текущего в пря­мом проводе бесконечной длины. Контур обхода (контур интегри­рования) L выберем в плоскости, перпендикулярной к току. Направления тока и обхода показаны на рисунке 1.7.

С калярное произведение вектора на элементарное переме­щение d будет

= Bdlcos = Bdl_B,

г

Рисунок 1.7

де – проекция вектора d на направление, совпадающее с вектором . Из рисунка видно, что , где r – модуль радиуса-вектора, проведенного от тока к ; – угол поворота этого вектора при перемещении на . Согласно выражению (1.11) . Тогда

. (1.12)

Циркуляцию вектора найдем, проинтегрировав выражение (1.12) по углу от 0 до 2 (при обходе всех элементов контура L радиус-вектор r повернется на угол 2):

. (1.13)

Полученная формула (1.13) справедлива не только для плоского конту­ра, охватывающего прямой ток, но и для любого пространствен­ного (не плоского) контура, охватывающего любой постоянный (и не обязательно линейный) ток.

Рисунок 1.8

Рисунок 1.9

Если контур обхода не охватывает ток (рис. 1.8), то циркуля­ция магнитной индукции равна нулю. Действительно, в этом случае радиус-вектор поворачивается сна­чала в одном направлении, а затем в другом. Угол поворота этого вектора против часовой стрелки будет положительным (+ ), угол поворота по часовой стрелке – отрицательным (– ) (по абсолют­ной величине эти углы равны). Полный угол поворота, соответ­ствующий обходу по всему замкнутому контуру, равен нулю. Ток и циркуляция в выражении (1.13) – величины алгебраи­ческие. Ток считается положительным, если его направление свя­зано с направлением обхода по контуру L правилом правого бу­равчика; ток противоположного направления считается отрица­тельным (рис. 1.9).

Если контур обхода охватывает n токов, то

, (1.14)

где – полный ток, охватываемый контуром обхода L.

В случае произвольного распределения токов в пространстве полный ток выражается через плотность тока : , где – любая поверхность, опи­рающаяся на контур , по кото­рому берется циркуляция.

Таким образом, циркуляция вектора индукции магнитного поля, созданного в вакууме постоянным электрическим током, равна произ­ведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму всех мак­рос­ко­пичес­ких токов, охватывае­мых контуром интегрирования.

Это утверждение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Поле, для которого циркуляция отлична от нуля, называется вихревым или соленоидальным. Из выражения (1.14) следует, что магнитное поле в отличие от электро­статического является вихревым, оно не является потенциальным полем. Поля, подобные электростатическому, называются безвихревы­ми, они относятся к потенциальным полям.