Тема 8. Динамика абсолютно твердого тела.

1. Момент силы. Момент импульса частицы относительно произвольной точки. Получите основной закон динамики вращательного движения.

момент силы относительно любой отсчетной точки O – это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор силы. На рисунке вектор М направлен перпендикулярно чертежу от нас.

м омент импульса материальной точки относительно любой отсчетной точки О – это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор импульса точки. На рисунке вектор L направлен от нас.

Чтобы получить основной закон динамики вращательного движения, нужно АТТ рассматривать как систему материальных точек, разделить силы на внутренние и внешние (см. ранее  теорему об изменении импульса), записать II закон Ньютона для каждой точки. Затем векторно умножить обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный от выбранной отсчетной точки О, и просуммировать по всем точкам:

	II закон Ньютона для i – ой точки
	векторное умножение обеих частей уравнения на радиус-вектор. В правой части – моменты внутренних и внешних сил
	суммирование по всем точкам, i , j = 1,2,…,n, i j
	первый член в правой части предыдущего уравнения равен нулю, т.к. моменты внутренних сил попарно уничтожаются

Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называется полным моментом импульса АТТ относительно некоторой точки отсчета.

Тогда II закон Ньютона для вращательного движения можно записать в виде:

основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки (любой)

Для поступательного движения выражение было получено ранее:

основной закон динамики для поступательного движения абсолютно твердого тела (v_с- скорость центра масс).

2. Момент инерции. Сформулируйте теорему Штейнера.

Величина I называется моментом инерции тела – это скалярная величина  по смыслу момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Моменты инерции – это аддитивные величины, т. е. для нескольких точек при одной и той же оси они просто складываются

моменты инерции
материальной точки	системы материальных точек	абсолютно твердого тела  - плотность тела, V – объем тела

У данного тела масса – одна, а моментов инерции может быть множество, т.к. осей вращения можно выбрать, сколько хочешь, поэтому, говоря о моменте инерции тела, надо всегда указывать ось вращения.

Моменты инерции некоторых тел (! только относительно указанных осей)

тонкое кольцо	диск, сплошной цилиндр	шар	стержень, квадратная пластинка	стержень, квадратная пластинка

В некоторых случаях вычисление момента инерции облегчает теорема Штейнера:

Если известен момент инерции тела относительно оси СС, проходящей через его центр масс, то момент инерции этого тела относительно оси ОО, параллельной оси СС, можно найти по этой формуле; a – расстояние между осями, m – масса тела

3. Получите выражение для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярной ему.

По т. Штейнера:

4. Напишите основные уравнения динамики для вращения тела вокруг неподвижной оси. Дайте формулировку, поясните все величины, входящие в выражение закона.

При неподвижной оси вращения основной закон динамики можно записать в скалярной форме:

основной закон динамики вращательного движения АТТ

при неподвижной оси вращения

(II закон Ньютона для вращательного движения),

 - угловая скорость,  - угловое ускорение

5. Плоское движение твердого тела, дайте определение. Напишите уравнение движения, учитывающие поступательное и вращательное движения тела. Рассмотрите пример скатывания цилиндра с наклонной плоскости.

Плоское движение твердого тела – центр масс С твердого тела движется в определенной плоскости неподвижной в данной системе отсчета, а вектор его угловой скорости все время остается перпендикулярно этой плоскости.

Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.

	II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений. Движение плоское.
	II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
	для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра – ось направлена перпендикулярно чертежу. R – радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
	связь между угловым ускорением  и ускорением центра масс аС.

6. Получение выражения для работы силы при вращательном движении тела. Мощность при вращательном движении.

Получим выражение для работы, совершаемой при повороте тела. Пусть к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси О, приложена сила F , направленная (для простоты) по касательной. В общем случае, когда сила направлена под углом к касательной, вывод сложнее, но конечная формула та же самая.

	элементарная работа силы F при перемещении на dl
	момент силы F
	связь длины дуги с радиусом при бесконечно малом угле поворота d
	подставим в первую формулу и, интегрируя, получим:

работа при вращательном движении

мощность при вращательном движении

7. Получите выражение для кинетической энергии вращающегося тела. Напишите выражение для кинетической энергии тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движения.

Найдем выражение для кинетической энергии при вращении тела относительно неподвижной оси, учитывая, что АТТ - система материальных точек, а энергия аддитивная величина:

Кинетическая энергия тела при вращении относительно

неподвижной оси

Если тело одновременно движется и поступательно и вращается, то его кинетическая энергия складывается из двух частей:

Кинетическая энергия тела при плоском движении

v_c – скорость центра масс