48.Отклонение точки от прямой.Вычисление расстояния от точки до прямой.

Пусть ах+ву+с=0.Вычисл.расстоян.от (.)М₀(х0,у0)до данной пр-ой:

Пусть т-ка М1(х1,у1),тогда в-рМ₀М= (х1-х0,у1-у0),n=(а,в), в-рМ₀М ll n по признаку коллениарн. в-рМ₀М=ланда*n,т.е. (х1-х0,у1-у0)=(ла,лв),тогда

lв-рМ₀Мl= ²+(у1-у0)²,т.к.равные в-ры имеют равные координ.,то х1-х0=ла,а

у1-у0=лв,=> lв-рМ₀Мl= ²+л² в²=lлl ²+в² из предыдущей следует,что х1=х0+ла,у1=у0+лв,т.к.х1,у1-коорд.(.)М1,лежащей на данной пр-ой ,то они удвлетв.ур-нию этой пр-ой.Подставим корд.в ур-ние этой пр-ой

а(х0+ла)+в(у0+лв)+с=0,л= -ах0-ву0-с/ ²+в², lлl= lах0+ву0+с/ ²+в²l.Рассм.расстоян.от М₀до пр-ой d=lв-рМ₀Мl= lах0+ву0+с l/ ²+в²l;d= lах0+ву0+с l/ ²+в².

50. Пучок прямых

множество всех прямых к плоскости назыв. пучком прямых. т.S-центр пучка.

51.Общее ур-е плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плос

кость α, проходящая через точку М0(х0,

у0,z0). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) -нормальный вектор плоскости α(Рис.50)

Очевидно, что , т.еА(х-х0)+В(у-у0)+C(z-z0)=0

Так как точка М взята произвольно, то уравнению (ЗЛ) удовлетворяет любая точка плоскости α. Пусть теперь точка M1(х1,у1,z1) удовлетворяет уравнению (3.1). Тогда

А(х1-x0)+B(y1-y0)+C(z1-z0)=0

и, значит, точка М1 принадлежит плоскости α. Уравнение (3.1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданною точку.

Раскроем скобки в (3.1) и обозначим D=-Аx0-Ву0-Cz0. Получим Ax+By+Сz+D=0 -уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

52.Неполные ур-я

ах+ву+сз+д=0 –общ.ур-е пр-ой.При этом она имеет норм. в-р n=(а,в,с),этот в-р явл. перпендик.

к этой пл-ой ,если все коэф. общ. ур-ния не=0,то ур-ние наз. полным.Если хотя бы 1 из них не=0,то ур-е наз. неполным . Виды неполных ур-ий: ах+с=0; ву+с=0;ах=0;ву=0

53. Уравнение плоскости по 3-м ее точкам

Очевидно, что плоскость единственным образом определяется

тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть это будут точки: А(х1, у1,z1), В(x2,у2,z2), C(x3,у3,z3). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) на плоскости α и обозначим вектора

=(x-x1,y-y1,z-z1),

=(х2-х1,у2-у1,z2-z1),

=(x3-x1,у3-y1,z3-z1)

В силу необходимого и достаточного условия компланарности трех векторов, получаем

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. В частности, если А(а,0,0), В(0,b,0), C(0,0,с), то уравнение (3.6) примет вид

, т.е.

54.Ур-е плоскоти в отрезках

Пусть в уравнении Ax+By+Сz+D=0 все коэффициенты отличны от нуля. Тогда Ах+By+Сz=-D, т.е.

Обозначим -D/A=a, -D/B=b, -D/C=c.Тогда уравнение плоскости в отрезках.

55.Параметрические ур-я плоскости

56,Взаимное расположение плоскостей

Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями вида

α1: А1х+B1y+C1z+D1=0,

α2: А2х+В2y+С2z+D2=0.

ТEOPEMA Тогда и только тогда плоскости α1 и α2:

1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2;

2) параллельны и различны, когда A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1 λD2;

3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2

Доказательство. 1) очевидно, что α1 || α2 тогда и только тогда, когда , т.е. A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2 для некоторого λ€R. Если D1=λD2, то уравнение (3.9) можно записать в следующем виде;

а1 : λA2x+λВ2y+λС2z+λD2=0, т.е.

A2x+В2y+С2z+D2=0

Итак, плоскость α задается точно таким же уравнением, что и плоскость α, значит, эти плоскости совпадают. Обратно, если плоскости α1 и α2 совпадают, то для любой точки М0(x0,y0,z0) α следует, что М0 € α. Запишем уравнения плоскостей α1 и α2 в следующем виде;

а1: λA1x0+λВ1y0+λС1z0+D1=0

а2: λA2x0+λВ2y0+λС2z0+D2=0

Тогда

D1=-λA2x0-λВ2y0-λС2z0=λD2

Тем самым случай 1) доказан. Теперь 2) следует из 1). а 3) следует из 1) и 2). Теорема доказана.

58.