67. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1) угол между прямыми в пространстве

Пусть две прямые заданы своими каноническими ур-ми: (1) (2) . Угол между 2-мя прямыми равен углу между их направляющим век-ми, коор-т напр.век-в. =(л1,м1,п1) =(л2,м1,п2), тогда косинус= )/

2) условие параллельности прямых в пространстве

Две прямые парал-ны т.и.т.т.к их направл.век-ры коллинеарны, тогда соответствующие корд-ты направ.век-в пропорциональны

3) условие перпендикулярности прямых в пространстве

Две прямые перпендикулярны т.и т.т.к их направляющие векторы являются ортогональными→их скалярное произведение =0, т,е л1*л2+м1*м2+п1*п2=0

4) Условие совпадения двух прямых.

Совпадающие прямые ІІ, т.е ІІ , с др.стороны рас рас-м век-р М1М2=(х2-х1;у2-у1;з2-з1), очевидно, сто век-р М1М2 принадлежит обеим прямым и является их направляющим в-м,т.е 3 век-ра кол-рны , и век-р М1М2. поэтому их соответствующие коордионатя пропорциональны:

5) Условия скрещивания двух прямых

две прямые явл. скрещивающиемся, если они не пересекаются и не являются парал-ми

68.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1) угол между прямыми в пространстве. Пусть две прямые заданы своими каноническими ур-ями: (х-х1)/л1=(у-у-1)/м1=(з-з1)п1 (1) и (х-х2)/л2=(у-у2)/м2=(з-з2)п2 (2). Угол между ними= углу между их направыляющими векторами. .

2) условие парал-ти. Они параллельны т и т т к их направляющие векторы коллинеарны. Тогда соответствующие коордионаты направл.векторов пропорциональны: л1/л2=м1/м2=п1/п2

3) Условие _!_ прямых в пространстве

Когда скалярное произведение направляющих векторов =0

4) Условие сопадения 2-ух прямых: (х2-х1)/л1=(у2-у1)/м1=(з2-з1)/п1

5) Условие принадлежности двух прямых одной плоскости =0

6)Условие скрещивания двух прямых

69. Вычесления расстояния от (.) до прямой в пространстве. Рис.

Пусть прямая задана каноническим ур-ем вида: и (.) М0(х0,у0,з0), М1(х1,у1,з1), М2(х2,у2,з2) . МН явл. высотой ∆М1М0М2, изв.что S∆=1/2*Д =1/2* → что расстояние Д= по этой фор-ле выч-ся раст-е от (.)М0 до данной прямой

70.Элипс,его канонич. Ур-ние и св-ва.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой ю которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а(а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнения эллипса выберем прямоугольную дкартову систему координат так чтобы ось ОХ проходила через фкусы F1 и F2, а начало координат точка О находилась в середине

отрезка F1F2

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда

F1(—с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у)—

произвольная точка эллипса. То-

гда MF1+ MF2= 2а, а>с. Следо-

вательно, .

. (*)

Возведем обе части уравнения (*) в квадрат. Получим

.Тосле приведения подобных получаем

Тогда

значит, Так как а>с, то >0. Поэтому уравнение (**) примет вид ,т.е

1. Пусть точка M1(х1,y1) принадлежит эллипсу, т.е.

,

тогда точки М2(—х1,у1), М3(х1,—у1), М4(—х1,—y1) также принадлежат эллипсу. Поэтому оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,О), А2(а,0), В1(О,b), В2(О,—b), называемых вершинами эллипса.

3. Так как

,

то , . Следовательно, |у| b, |х| а и эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.

4.Из уравнений , ,следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.