87. Метод Гаусса
Это метод последовательного исключения неизвестных который называется методом Гаусса используемый для решения произвольных систем.
Данная система преобразовывается, затем неизвестные стоящие на не главной диогонали и объявляем их свободными членами.Записываем общ.решение.
88) Теорема Кронекера –Капелли.Следствия.
Т: произвольная система лин.ур-ий совместна т. и т. т к ранг основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.
док-во: 1)Рас-м произ.матрицу из лин.ур-й
Запишем основ.матрицу А=
Запишем расширенную матрицу
Пусть система совместна, поэтому она имеет хотябы одно решение(к1,к2….кн)Подставим его в систему, получим тождество
90.(1)Лин.ур-ние наз.однородным ,если его свободный член = 0.С-ма однор.лин.ур-ний всегда явл.совместной.(2)Т:Однор.с-ма лин.ур-ний имеет нулевые решения <=>RgА>числа неизвестных.
Д-во:
Пусть однородная с-ма имеет не нулевые р-ния вида (α1, α2.. αн )при подстановки его в с-му получаем тождество,которое можно записать в нект. виде:
Т.к. среди а1,а2,…,аn есть числа не=0,а1с1+а2с2+…+ансн=0
=>они лин.зависимы.Т.к.по т-ме о базисном миноре базисные столбцы явл.лин.незав.,то мн-во лин.незав.столбцов (с1,с2,…,сн)не явл.базисным ,т.е.базисных столбцов в матрице< числа неизвестных n ,позтому RgА=числу базисных столбцов<числа неизвестных n.
91.Фундаментальной с-мой р-ний однор.лин.с-мы наз.мн-во р-ний е1,е2,…,енудвлетв. 2 условиям:
1.Решение е1,..,ен лин незав.
2.Любое решение х данной с-мы лин.выраж. через р-ния е1,…,ен.
Т:Если RgА однор.лин.матрицы = числу U,а число n-неизвестных = P,то фундаментальная
с-ма р-ний состоит из U-P-решений данной с-мы.Д-во:
Пусть RgА=r=n,тогда однородн.с-ма имеет только нулевое решение,которое не имеет базиса,т.е.не имеет фундаментальной с-мы р-ний,В этом случае получаем:n-r=n-n=0,т.е.0-решений входит в фунд.с-му .
92.Понятие лин.Простр.
Не пустое мн-во элементов любой природы наз.линейным пространством над полем Р,а его элементы наз. векторами и обозначаются х,у,z,… ,если выполняется следующее условие:
В мн-ве В операция сложения,это значит что для любой пары в-ов х,у принадл.В опред.единствен.эллемент z принадл.В,который наз.суммой элементов х,у и обозначается
Z=х+у,при этом в операции сложения выдиляются следующие оксиомы
1.Коммутативность х+у=у+х
2.ассоциацивность (х+у)+z=х+(у+z)
3.существов.единств.нулевого в-ра: х+о=х
4. существов.единств.(-х) : х+(-х)=о
В мн-ве В опред. операция умножения в-ра на число
5.Для любого х : 1*х=х
6.Для любого а и в (а*в)х=а(в*х)
Предыдущие операции удвлетвор.двум дистрибутивным:
7. для любых чисел(а+в)х=ах+вх
8.а(х+у)=ах+ау
93.1.Существ.единствен.нулевого в-ра,д-во:
Пусть в В существ.2 нулев.в-ра,что для любого в-ра выполн.равенство:
Х+01=х,х+02=х,положем,что х=02,тогда 02+01=02,использ.оксиому 1:
02+01=02=01+02=01 =>02=01
2.Сущ.ед.(-х)в-ра,д-во:Пусть для л.хприн.В существ. 2(-х),для них выполняется:
Х+(-х1)=0,х+(-х2)=0,(-х1)=(-х1)+0=(-х1)+(х+(-х2))=((-х1)+х)+(-х2)=(х+(-х1))+(-х2)=0+(х2)=
(-х2) =>(-х1)=(-х2)
3.Для любого х спроведливо (умножение на ноль):0*х=нулевой в-р, д-во:0х принадл.В
0х=0х+0=0х+(х+(-х))=0х+(1*х+(-х))=(0х+1*х)+(-х)=(0+1)х+(-х)=1*х+(-х)=х+(-х)=0 в-ру
4.Для любого а спроведливо р-во(умнож.на нул.в-р)
а*0=0,д-во:а0=а(0*в-р0)=(а*0)*в-р0=0*в-р0=в-р0
5.Умножен.на(-1):(-х)=(-1)х ; д-во:х+(-1)х=1*х+(-1)х=1+(-1)х=0х=в-р0,х+(-1)х=в-р0,(-1)х=(-х)
6.*на (-а): -(ах)=(-а)х=а(-х),д-во: -(ах)=(-а)(х+в0)=(-а)х=(-1)а*1*х=1*а*(-1)х=а(-х)
7.для любого а,в и х:(а-в)х=ах-вх;(а-в)х=(а-в)(х+0)=ах+0-вх-0=ах-вх
8.для любого а и х,у:а(х-у)=ах-ау,а(х-у)=а(х+0-(у+0))=ах+0-(ау+0)=ах+0-ау-0=ах-ау
94.Если поле П-действит.,то пр-во П наз.действительным.Если поле П комплексных чисел,то П наз.
комплексным пространством
95.Если х предст. В виде х=а1х1+а2х2+…+анхн,то х лин.выраж.через х1,х2,…,хн,числа а1,а2,…,ан наз. коэф.,а выр-ние лин.комбинацией х1,х2,…,хн.О.:говорят,что х1,х2,…,хн явл.лин.зависим.,если в П существ.а1,а2,…,ан одноврем. не=0 для которых выполн.равенство а1х1+а2х2+…+анхн=в-ру0
О.:говорят,что х1,х2,…,хн не явл.лин.зависим.,если рав-во а1х1+а2х2+…+анхн=в-ру0 выполн.<=>все коэф.при неизв.=0
96.1.х1,х2,…,хн явл.лин.зав.<=>хотябы один из них выр.через остальные.Д-во:(1часть)х1,х2,…,хн явл.лин.зав.<=>сущ.одноврем.неравн.числа а1,а2,…,ан,для которых выполн.рав-во а1х1+а2х2+…+анхн=в-ру0.Допустим,что а1не=0,тогда из данного рав-ва получим
а1х1=-а2х2-…-анхн,умн.на 1/а1,х1=(-а2/а1)х2+…+(-а3/а1)х3+…+(-ан/а1)хн,заменим,получим:
х1=в2х2+в3х3+…+внхн
(2часть)пусть один из в-ов явл.лин.комбин.остальн.в-ов:хн=в1х1+в2х2+…+вн-1хн-1.Тогда из этого =>
в1х1+в2х2+…+вн-1хн-1-хн=0,в1х1+в2х2+вн-1хн-1+(-1)хн=0,в1,в2,…,вн-1,-1не=0,но это зн-т,что х1,х2,…хн явл.лин.зав.
2.Если среди мн-ва в-ов х1,х2,…,хн V ,есть подмн-во лин.зав.в-ов,то и всё мн-во лин.зав.
Допустим ,что среди данных в-ов х1,х2,…,хн,к<=n явл.лин.зав-ми.Из определения это означ.,что спроведливо рав-во а1х1+а2х2+…+акхк=0,при этом среди коэф.а1,а2,…,ак есть коэф.не=0,но,тогда спроведливо и следующее р-во: а1х1+а2х2+…+акхк+0*хк+1+0*хк+2+…+0хк+н=в-р0,при этом среди коэф.лин.комб.есть коэф.не=0,но это означ.,что всё мн-во в-в х1,х2,…,хн явл.лин.зав.
3.Если среди х1,х2,…,хн есть в-р0,то всё мн-во лин.зав.
Допустим,что среди в-в именно хн=в-р0,очевидно,что спроведливо рав-во:0х1+0х2+…+0хн-1+1*хн=
=в-р0
97.Мн-во е1,е2,….,ен принадл.V наз.базисом этого пр-ва,если выполн.2 условия:
1.в-ры лин.незав.
2.любой в-р х лин.выр-ся через в-ры е1,е2,…,ен
V наз.n-мерным,а число n наз.размерн.пр-ва,если выполн.2 условия:1.В пр-ве V существ.мн-во, состоящее из n лин.незав.в-ов.2.Любое мн-во,состоящее из n+1 в-ов явл.лин.зав.
Т1.:если V n-мерное лин.пр-во,то любой n лин.незав.в-в образ.его базис.
Т2:если лин.пр-во имеет базис,сост.из n-в-ов,то оно явл.n-мерным.
98. Если е1,…,ен базис лин.пр-ва,то упоряд.мн-во коэф.а1,…,ан в разлож.по данному базису наз.координ.х относительно данного базиса.
Равные в-ры имеют соответств.равные коорд.относит.данного базиса.Д-во:Рассм.базис V,состоящий из
е1,…,ен и произвольных х.Из 2 усл-я определ.следует,что х разлагается по базисным векторам.Пусть х=а1е1+….+анен при этом упоряд.мн-во а1,…,ан явл.коорд.в-ра х,допустим,что существует и др.разложения х по данному базису.Пусть х=в1е1+….+внен,т.е.сущ.и др.координаты в1,…,вн.Вычтим из
1 второе:х-х=(а1-в1)е1+…+(ан-вн)ен=в-ру0,т.к е1,…,ен явл.лин.незав.,то все коэф.должны быть нулевыми,т.е.одновр.выполн.2 рав-ва:а1-в1=0,ан-вн=0 =>а1=в1,…,ан=вн,т.е.2 разложения совподают,т.е.
Сущ.единств.разложение по данному базису.
99.1.При сложении 2-х в-в их соотв.коорд.относит.данного базиса складываются.2.При умножении в-ра на число все корд.этого в-ра умн-ся на это число,т.е.х=(а1,…,ан),а у=(в1,…,вн)=>х+у=(а1+в1,а2+в2,…,ан+вн),если л-число,то лх имеет коорд.лх=(ла1,ла2,…,лан)
100.Оператор А действ.из V1 в V2 наз.линейным,если выполн.2 условия:1.образ суммы в-ов = сумме образов слагаемых.2.образ произв.в-ра на число = числу умноженному на образ в-ра.3.А*в-р0=в-р0’
Если пр-во V1 и V2 совподают,т.е.V1=V2=V,то оператор действ.из V в V наз.преобр.лин.пр-ва V,соответств.лин.оператор наз.лин.преобраз.пр-ва V.
101.Матрица А порядка n,столбцы которой явл.соотв.коорд.в-ов Ае1,…,Аеn наз.матр.лин.преобразования.А в базисе е={е1,…,ен}.Т.о.каждому лин.преобр.n- мерного V соотв.опред.кв.матрица порядка n.Элементы,которой зависят от выбранного базиса.
это означает, что столбец свобод.членов лин.выражается через столбцы основ.матрицы с1,с2,….сн..Допустим что RgA=r из Т.о базис.миноре, что столбец свободных членов В явл.лин.комбинацией базисных столбцов основной матрицы.
Но это значит, что базисный минор матрицы А, явл.базисным минором расширенной мат-цы А*, т.е м-цы имеющий один.базисные миноры одинак. Rg→ RgA=А*
2)Пусть Rg осн.матрицы системы равен Rg ее расширенной матрицы RgA=А*, т.е RgA==RgA*= r, тогда ясно что базисный минор матрицы А совподает с базисным минором маирицы А*, по теор. о баз.миноре.
В результате выполнения всех действий мы получим м-тождеств, которые показывают, что множество к коэфициэнтов(α1…αr..00..0) является решением системы, что означает ее совместность. ЧТД.
След1. Если Rg основной матрицы = расширенной матрице и равен числу r, то м- r уравнений коэф.которых не входят в базисный минор, можно вычеркнуть из системы. В системе остаются только базисные уравнения при этом уменьшаная система всегда эквивалентна данной.
След2. Если RgA и RgA* r совподает с числом неизвестных, r=м, то система имеет ед.решение.
След3.
Если RgA
и RgA*
совподают и являются числом меньшим
числа неизвестных r
н, то сис-ма имеет бесконечное множество
решений, которые обобщаются общим
решением.
106.Св-ва собств.в-ов и зн-ний имеет единствен.зн-ние.
Д-во:Допустим обратное:
Ах=л1х и Ах=л2х,Ах-Ах=л1х-л2х,Ах=Ах,(л1-л2)х=в-ру0,хне=0,л1-л2=0,л1=л2,х1 и х2 их сумма
х1+х2не=0в-ру,Ах1=лх1 и Ах2=лх2,А(х1+х2)=Ах1+Ах2=лх1+лх2=л(х1+х2),А(х1+х2)=л(х1+х2)
Это св-во ,что {} собств.в-ов собств.зн-ем л определ.сложение.
При умн.собств.в-ра х на а получ.собств.в-р ах с тем же сообств.зн-ем,что и х.Д-во:
Пусть х собств.с собств.зн-ем л.Для него выполн.Ах=лх,умн.х*а не=0.Получим ах,найдём его образ
А(ах)=а(Ах)=(ал)х=л(ах),А(ах)=л(ах)
107.Х имеет собственный в-р лин.пр-ва <=>найдётся л ,что Ах=лх,т.е.[Ах]=л[х]=[лх1 лх2 …лхн](в столбец)
108.А в е1,…,ен имеет диог.вид <=>все векторы базиса явл.собств. векторами А.Д-во:
1.Пусть А в е1,…,ен соотв.диог.матрица.По определению А в 1 столбце её находится корд.в-ра Ае1,во 2-ом Ае2,в n-ом Аен,т.е.коорд.образов базисн.в-ов.Это означ.,что в-р Ае1=(а1,0,…,0)=
=а1е1+0е2+…+0ен=а1е1.Т.о.Ае1=ае1 =>е1 явл.собств.в-ом А собств.зн-нием а1.Т.о.все баз.в-ры явл.собств.в-ами лин.преобраз.
2.Пусть ф1,…,фн А.Найдём А,для этого найдём обр. ф.ф1 явл.собств.А.Образы запис.в соотв.столбцы,т.е. в базисе сост.из собств.в-ов лин.А всегда имеет диогон.матрицу.
109.1.находим матрице А соотв.А.2.состовл.характ.ур-ние lА-лЕl=0 и находим его корни л1,…,лн
явл.собств.значением лин.пеобраз.А =>мн-во собств.в-ов А
110.1.Рассм.тождествен.преобраз.Ех=х.2.Состовл.его матрицу ф1,ф2,…,фн,
Еф1=ф1=1*ф1+0*ф2+…+0*фн
Еф2=ф2=0*ф1+1*ф2+…+0*фн
……………………………….....
Ефн=фн=0*ф1+0*ф2+…+1*фн
Е=10…0
01…0
00…1,т.е.тожд.преобр.соответств.Е.