19.Оценка результатов регрессионного анализа

В результате эксперимента выполнено вычисление полученных оценок регрессионных коэффициентов модели. Возникает вопрос, можно ли использовать полученную модель для описания данных объектов и насколько она будет точной (адекватной).

Для ответа на этот вопрос в РА решаются следующие три задачи:

1. проверка воспроизводимости эксперимента. Решается вопрос, является ли эксперимент воспроизводимым, т.е. при повторении эксперимента, будут ли одинаковыми результаты;

2. проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии. Статистическими методами исследуется вопрос, значимо ли отличаются от нуля коэффициенты регрессии или их можно принять равными нулю и тогда исключить из состава модели, упростив её;

3. проверка адекватности модели. Решается вопрос, соответствует ли модель регрессии данным наблюдения.

20.Проверка воспроизводимости

Эксперимент воспроизводим, если дисперсия условной функции в каждой точке факторного пространства является однородной. Для проверки статистической гипотезы воспроизводимости используется критерий Кохрена:

где r - число повторений опыта в данной точке факторного пространства, - среднее значение в данной точке факторного пространства (результат эксперимента при фиксированном значении факторов).

Статистику Кохрена и статистическую воспроизводимость имеет смысл применять в экспериментах, где факторы или переменные объекта можно зафиксировать.

Критерий Кохрена есть отношение максимальной дисперсии из всех точек наблюдения к сумме дисперсий в этих точках. Критерий проверяется следующим образом:

где критическое значение зависит от числа степеней свободы числителя и знаменателя и уровня значимости.

21.Проверка значимости

На этом этапе решается задача проверки гипотезы .

Проверка значимости производится с помощью критерия Стьюдента:

Расчетное значение сравнивается с критическим, взятым из таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне значимости.

Для более тонкой проверки применяется следующая статистика:

Т.е. при более точном вычислении учитывается взаимосвязь факторов с помощью введения в выражение множественной корреляции. Если незначимые коэффициенты исключаются из модели, то в общем случае требуется пересчет остальных коэффициентов, т.к. при удалении незначимого коэффициента вычеркивается столбец матрицы Х и приходится проверять всю её заново.

22.Проверка адекватности

Существуют процедуры рекурсивного отбора значимых элементов. Эти процедуры ориентированы на минимизацию остаточной дисперсии, т.е. вычеркиваются столбцы матрицы Х.

Для РА в случае пассивного эксперимента возникают большие сложности с оценкой пригодности и работоспособности модели. Проверку пригодности модели делать достаточно просто, если есть возможность получить оценку дисперсии в каждой точке факторного пространства. В результате ДА известна остаточная дисперсия – несмещенная оценка генеральной совокупности основного наблюдения.

Оценить работоспособность модели возможно, если имеется несколько наблюдений в одной точке факторного пространства, что не всегда возможно при пассивном эксперименте, т.к. здесь все точки, как правило, различны.

Один из способов проверки адекватности модели заключается в нахождении коэффициента работоспособности:

Во многих случаях оказывается, что полученная модель не дает эффективного снижения остаточной дисперсии. Дисперсия погрешности основного наблюдения оказывается такой же как и дисперсия отклонения результатов измерений от среднего по модели, таким образом, модель оказывается неработоспособной.

Используется следующая модель работоспособности:

Если , считается, что модель работоспособна.

Для решения той же задачи может быть использован критерий Фишера:

Т.е. дисперсия среднего наблюдений равна дисперсии наблюдения.

Часто полученные регрессионные модели обладают низкой эффективностью, т.е. плохо описывают данные. Это объясняется целым рядом нарушений предпосылок РА:

1. данные собраны с узким диапазоном варьирования;

2. большая погрешность регистрации значений входящих переменных;

3. не учитывается запаздывание объекта;

4. коррелированность входящих переменных и ошибок наблюдений;

5. корреляция возникает при наличии обратной связи.

Для улучшения качества РА, в частности получения несмещенной оценки, но с меньшей дисперсией, применяется метод гребневой регрессии.