31.Дробный факторный эксперимент
Цель дробного факторного эксперимента (ДФЭ) – уменьшить число опытов в ПФЭ. ДФЭ организуется и проводится аналогично ПФЭ. Расплатой за уменьшение числа опытов является замешивание оценок коэффициентов регрессионной модели во взаимодействии. В отличие от ПФЭ оценки в регрессионной модели в ДФЭ являются зависимыми (смешенными во взаимодействии).
Теоретически ДФЭ может существенно уменьшить число опытов. Например, при 15 факторах ПФЭ содержит примерно 32000 опытов. Используя ДФЭ, можно провести только 16 опытов.
Формула для характеристики плана ДФЭ имеет следующий вид:
,
где
k – число факторов,
p – число вновь вводимых факторов, смешенных во взаимодействии.
Число опытов, которое определяется ПФЭ, в статистике называют репликой эксперимента. Тогда все планы ДФЭ – дробные реплики ПФЭ. Например, 4 опыта для 3 факторов называются половинной дробной репликой ПФЭ и т.д.
Смешивание факторов взаимодействия можно объяснить следующим образом:
Для определения схемы смешивания факторов вводится понятие генерирующего соотношения и определяющего контраста. Генерирующее соотношение показывает, с каким взаимодействием смешан данный фактор.
Пример. Для выбора 4 опытов при 3 факторах существуют две возможности:
x3=x1x2
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2x3 |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
x3=-x1x2
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2x3 |
- |
- |
- |
- |
+ |
- |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
- |
Полученные таблицы
– планы эксперимента полуреплики ПФЭ
типа
.
Приведенные формулы называются генерирующими соотношениями. Они могут быть получены на основе определяющего контраста:
x1x2x3=1
x1x2x3=-1
Генерирующие соотношения получаются путем умножения правой и левой частей определяющего контраста на соответствующий параметр:
Генерирующие соотношения эквивалентны с точки зрения ПФЭ. Из них вытекает схема смешивания оценок:
При выборе схем смешивания вновь вводимых факторов следует смешивать во взаимодействии более высоких порядков. При этом может быть получена реплика большей разрешающей способности.
32.Анализ подбираемых моделей при ортогональном планировании
Реализация построенного ПФЭ позволяет провести опыты в соответствии с матрицей планирования, вычислить оценки параметров модели и построить данную полиномиальную модель. Для того, чтобы провести анализ полученной модели и оценить её качество, проводят этапы исследования, обычные для РА.
1 этап.
Проверка воспроизводимости эксперимента, которая делается путем многократного повторения опытов в вершинах плана эксперимента. При проведении экспериментов рандомизация делается не только по порядку, но и по сериям опытов. Это значит, что нельзя повторять эксперимент многократно в одной точке плана.
Если проводится n экспериментов для проверки воспроизводимости, используют критерий Кохрена, который проверяет следующие статистические гипотезы:
Т.е. с доверительной
вероятностью
гипотеза о воспроизводимости эксперимента
справедлива (или не справедлива).
Дальнейшее исследование модели имеет смысл, если эксперимент воспроизводим. Иначе принимается решение о невозможности использовать данную модель для описания экспериментальных данных. Причинами отклонения модели могут быть различные явления, например, неправильно выбранные факторы, описывающие модель, существование слишком большой корреляции между факторами или слишком большая погрешность фиксации результатов опыта.
2 этап.
Проверка значимости коэффициентов модели. В этом случае проверяются гипотезы по критерию Стьюдента:
Если установлено, что при некотором j коэффициент значимо не отличается от 0, то его можно исключить из модели без пересчета остальных коэффициентов, т.к. план ортогонален.
3 этап.
Проверка адекватности модели (пригодность для описания данных). Для решения данной задачи используется статистика Фишера, которая проверяет следующие гипотезы:
