27.Планирование эксперимента в задачах идентификации

Задача идентификации известна для статистики. Её цель – определить параметры линейной регрессионной модели. Планирование эксперимента своей целью ставит максимальное извлечение информации из данных. Планирование дает максимальную эффективность в том случае, когда есть возможность на входе изучаемого объекта сформировать целенаправленное воздействие, при этом говорят, что эксперимент является активным.

При задании плана активного эксперимента решаются следующие задачи:

1. выбор координат точек в факторном пространстве, где ставятся опыты. В пассивном эксперименте эти точки расположены в факторном пространстве случайно, а в активном – выбираются неким оптимальным образом;

2. количество опытов в точке факторного пространства.

28.Общие критерии оптимальности планов эксперимента

В настоящее время существует порядка 30 критериев оптимальности планов эксперимента. Выбор того или иного критерия не задается жестко, это творческая работа для исследователя. Все многообразие критериев можно разделить на две группы:

1. критерии, связанные с достижением наилучших свойств параметров подбираемой модели (не нужно решать задачу прогнозирования);

2. критерии, связанные с достижением наилучших предсказательных свойств подбираемой модели.

Результатом РА является вычисление коэффициентов регрессии:

Все свойства планов эксперимента формулируются через свойства матрицы .

Рассмотрим критерии оптимальности I группы, которые наилучшим образом определяют свойства параметров модели.

Критерий	Интерпретация
	алгебраическая	геометрическая	статистическая
1.Д-оптимальность		Минимальный объем эллипсоида рассеивания	Минимум обобщенной дисперсии
2.А-оптимальность	Sp – степ (произведение элементов главной диагонали)	Минимум суммы квадратов отклонений эллипсоида рассеивания (минимум длины диагоналей описанного параллелепипеда)	Минимум средней дисперсии оценок параметров модели
3.Е-оптимальность	- собственное число матрицы	Минимум длины максимальной оси эллипсоида рассеивания	Некоторые оценки параметров, не обладающих существенной дисперсией
4.ортогональность		Направление главных осей эллипсоида рассеивания совпадает с направлением осей координат параметров	Полученные оценки параметров являются независимыми

В теории статистики существует теорема, которая говорит, что, если эллипсоид рассеивания интерпретировать как многомерный аналог доверительного интервала оценок параметров модели, то критерии Д, А, Е эквивалентны стремлению минимизировать этот доверительный интервал.

Рассмотрим критерии оптимальности II группы. Их предназначение – выявление наилучших предсказательных свойств модели.

Критерий	Интерпретация
	алгебраическая	Статистическая
1.G-оптимальность		Минимум максимума значений дисперсий предсказаний
2.Q-оптимальность		Минимум средней дисперсии предсказаний
3.рототабельность	- расстояние от центра плана	Постоянство дисперсии предсказаний на равных расстояниях от центра эксперимента (точность предсказания одинакова для различных направлений от центра плана)

Нельзя дать общие рекомендации по применению каждого критерия оптимальности, но есть возможность указать область применения различных критериев в задачах построения моделей. Например, если ставится задача построение модели для оптимизации системы управления, то наиболее предпочтительным является такой план, который дает независимые оценки (ортогональность) и желательно рототабельность, т.к. в этом случае возможна организация поиска экстремума, или нужна модель для наилучшего описания и предсказания. Если ставится задача исследования каждой переменной с последующим поиском оптимального решения, то желателен ортогональный и рототабельный план. Если ставится задача построения общей модели с хорошим прогнозом, то желательно использовать Д, А, Е, G, Q – критерии оптимальности.

Наибольшее распространение получили ортогональные планы, т.к. для них было доказано, что при определенных условиях они являются А, Е, Д оптимальными.