5.2.4. Главные оси и главные моменты инерции.
Начнем с определения:
Если
для тензора второго ранга
существует вектор
такой, что
,
то
число
называется главным (собственным)
значением тензора,
собственным
вектором, а ось, задаваемая главной осью тензора.
Теорема о приведении тензора инерции к главным осям.
Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных
собственных
векторов
и тройку вещественных
собственных значений (главных
моментов)
,
причем:
1. Если собственные значения различны, то собственные векторы определяются
единственным образом и тензор инерции имеет вид
2.
Если два собственных значения равны,
например
,
то однозначно
определяется
собственный вектор
,
а
любые перпендикулярные к
( и друг к
другу);
в этом случае
.
Такой тензор называется трансверсально-изотропным; он не изменяется, если тело
вращать вокруг оси изотропии, задаваемой .
3.
Если равны все собственные значения
,
то
любая
ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым
Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах
( значениях ) и собственных векторах симметричной матрицы.
Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует по
меньшей мере одна тройка главных осей, т.е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю и тензор инерции в этих осях имеет вид
. Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами
Эйлера), то существует возможность сделать равными нулю три центробежных момента.
В некоторых случаях, когда тело обладает каким – либо видом симметрии, то согласно
физическому принципу Кюри-Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор
инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии.
Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии BXZ , то перпендикулярная ей
ось
Y
является главной (рис.5.3а) . Действительно,
центробежные моменты
и
равны
нулю, поскольку каждому элементу
с координатами
соответствует
симметричный с координатами
.
Если имеется еще одна плоскость симметрии BYZ, перпендикулярная первой, то ось Х
(а,
следовательно, и Z)
тоже главная:
и
,
так
что
тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей,
имеет вид
.
Если тело осесимметричное (рис.5.3б), то любая плоскость, содержащая ось Z , является
плоскостью
симметрии и, в дополнение ко всему
вышесказанному ясно, что
;
так что тензор инерции трансверсально-изотропный
Z Z Z
а) б) в)
В В
X
Y
Рис. 5.3
Если тело обладает осью симметрии «N» - го порядка, т.е. тело переходит «само в себя»
при
повороте на угол
(на рис.5.3в N=5),
то можно доказать, что и в этом
случае тензор инерции трансверсально-изотропный.