5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси.

. Физический маятник.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z .

Z

B

A

 C

A

Уравнение второго фундаментального закона имеет вид

, или

где точка А - любая точка на оси вращения, . - вектор угловой скорости.

Если нас интересует только угол поворота , достаточно найти одну лишь проекцию на

ось Z, для чего умножим скалярно обе части уравнения на и внесем его в производную:

.

По определению, осевой момент инерции, причем постоянный,

а момент относительно оси Z. Таким образом, получили дифференциальное

уравнение вращения вокруг неподвижной оси:

(5.32)

Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила тяжести и,

разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело

называют физическим маятником.

В этом случае уравнение (5.32) принимает вид нелинейного уравнения

,

которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься

движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим,

положив :

, (5.33)

где обозначение квадрат собственной частоты.

Решение уравнения (5.33) имеет вид

где константы определяются из начальных условий .

Ясно, что измеряя собственную частоту ( или период ), можно экспериментально

найти момент инерции .