7. Арифметика в обратном и дополнительном кодах

Рассмотренные арифметические операции над двоичными числами могут быть сведены к выполнению лишь двух операций; сложения и сдвига. Для этой цели в ЭВМ применяются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный.

Для обозначения знака числа, участвующего в операции, в этих кодах выделяется специальный знаковый разряд, в котором записывается 0 для положительного числа и 1 — для отрицательного. Знаковый разряд всегда располагается слева от цифровых разрядов, представляющих данное число.

Прямой код х_пр двоичного числа х содержит цифровые разряды этого числа, слева от которых записывается знаковый разряд. Например, для числа х = + 1011 прямой код будет х_пр = 0.1011, а для числа х = – 1011 прямой код х_пр = 1.1011.

Использование обратного и дополнительного кодов позволяет свести операцию вычитания (алгебраического сложения) чисел к простому арифметическому сложению. Записи положительных чисел в обратном и дополнительном кодах совпадают с их соответствующими записями в прямом коде. Для рассмотренного ранее примера х = + 1011 имеем:

х_пр = х_обр = х_доп = 0.1011.

Отрицательные числа в этих кодах представляются по-разному.

Обратный код х_обр отрицательного числа x получается из прямого кода путем замены значений цифровых разрядов на противоположные. В знаковом разряде, как в прямом коде отрицательного числа, записывается 1. Например, если

x = – 1011, то х_пр = 1.1011; х_обр = 1.0100.

Дополнительный код х_доп отрицательного числа x образуется из его обратного кода х_обр путем прибавления 1 к младшему цифровому разряду. Для предыдущего примера: х_обр = 1.0100; х_доп = 1.0101.

В процессе прибавления 1 к младшему разряду могут возникнуть переносы из данного разряда в следующий. Если эта 1 переноса достигает знакового разряда и вызывает соответствующий перенос из него, то при использовании дополнительного кода последний перенос отбрасывается, а при использовании обратного кода единица знакового переноса суммируется с младшим разрядом полученной суммы. Результат вычислений получается в том коде, в каком были представлены слагаемые. Например,

десятичный код:		обратный код:		дополнительный код:
–	12	+	0.1100	+	0.1100
	5		1.1010		1.1011
	7	1 0.0110		1 0.0111
		0.0111		0.0111

В процессе выполнения расчетов на ЭВМ может образоваться как «положительный», так и «отрицательный» нуль, причем только в дополнительном коде он имеет единственное представление. Действительно,

в прямом коде:
(+ 0)пр = 0.00...00;	(– 0)пр = 1.00...00;
в обратном коде:
(+ 0)обр = 0.00...00;	(– 0)обр = 1.11...11;
в дополнительном коде:
(+ 0)доп = 0.00...00;	(– 0)доп = 0.00...00.

По этой причине, в частности, для представления отрицательных чисел в ЭВМ обычно используется дополнительный код. Поскольку дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом, то положительные числа участвуют в операциях по сути дела в прямом коде. Как уже отмечалось, использование дополнительных кодов для отрицательных чисел позволяет свести операцию вычитания (или алгебраического сложения) к простому арифметическому суммированию кодов, включая их знаковые разряды. Если в результате суммирования получается положительное число (0 в знаковом разряде), то оно представлено в прямом коде, а если отрицательное число (1 в знаковом разряде), то — в дополнительном коде.

Упражнения

Выполнить арифметические операции со следующими десятичными числами, используя метод дополнительного кода:

а) 7 + 1; б) 31 + 26; в) 8 – 5; г) 89 – 46; д) 1 – 6; е) 20 – 60;

ж) – 3 – 4; з) – 13 – 41; и) 7 – 2; к) 113 – 50; л) 3 – 8; м) 12 – 63.