5. Вероятность появления хотя бы одного события.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,А2,…,Аn, независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей
противоположных
событий:
P(A)=1-q1q2…qn Где qi=1-P(Ai), i=1,k
Обозначим через A событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A1,A2,…,An. События A и A1,A2,…,An {Надчеркнутые}(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:
P(A)=1-q1q2…qn
6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятности этих событий без вероятности их совместного появления
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Т.к.
АВ отличается от А и В некоторой частью
элементарных событий например m0
благоприятных и для А и для В. Вероятность
Пусть m1 – оставшееся часть исходов испытаний для события А.
Пусть m2 – оставшееся часть исходов испытаний для события В.
То
есть
События А+В имеет число исходов испытаний равное А+В=m1+m2+m0
Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Т.к. вероятность произведения несовместимых событий = 0, то доказанная выражение справедливо и для несовместимых событий.
7. Формула полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий В1,В2,...,Вn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.
Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РBn(A)
Доказательство. По условию событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1В2…Вn. Другими словами, появление события А вызывает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А,В2А…ВnА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:
Р(А)= Р(В1А)+ Р(В2А)+…+Р(ВnА)
Учитывая теорему умножения вероятностей
Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РBn(A)
8. Формула Бейеса
По условию теоремы о полной вероятности заранее не известно, какое из событий, В1,В2,...,Вn, должно произойти для наступления события А по этому эти несовместимые события образующие полную группу назв. Гипотезами.
Их обозначают Hi
Пусть проведено испытание и появилось события А. Теперь можно определить как сказалось наступления события А на вероятность гепотез. Тоесть найдем условные вероятности PА(Hi), i=1,n
По теореме умножения вероятностей
P(AHi)=P(A)PA(Hi)=P(Hi)PHi(A) отсюда
Применмв для А ФОРМУЛУ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ получим
9.Формула Бернулли Наивероятнейшее число наступлений события.
где
q=1-p
Дает возможность определить вероятность того что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз.
p – вероятность события А в одном испытании.
На практике, иногда требуется знать, какое число наступления события является наивероятнейшим. Тоесть при каком m вероятность Pn(m) наибольшая.
Наивероятнейшее число наступления события А лежит между np-q<=m0<=np+p
В этом интервале содержится m0
Оно только целое, принимает значения в интервале или концы интервала.