23. Числовые характеристики нсв (матожидание, дисперсия, ...).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, Ь], называют определенный интеграл:
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством
27. Показательное (экспоненциальное) распределение нсв.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной функцией
Показательное распределение удовлетворяет длительность безотказной работы прибора, по этому оно широко применяется в теории надежности.
Найдем интегральную функцию показательного распределения
Мат.
ожидание
математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ.
Дисперсия
–
Cреднее
квадратическое отклонение -
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
28. Система двух случайных величин. Закон распределения. Числовые характеристики.
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными.
Кроме одномерных случайных величин, изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, ..., n-числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, ..., n-мерными.
Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величии X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины и их вероятностей. Обычно закон распределения задают в виде таблицы.
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.
Отсюда получим мат. ожидание
Дисперсия
Среднее квадратичное отклонение
29. Функция плотности вероятности двумерной случайной величины (X, у). Ее свойства
Дифференциальной функцией распределения f(x,у) двумерной непрерывной случайной величины (X, Y) называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции:
Зная дифференциальную функцию f(x, у), можно найти интегральную функцию F(x, у) по формуле
Вероятность попадания случайной величины в область вычисляется по формуле
Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна:
F(x,у)>=0.
Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от дифференциальной функции равен единице:
30. Плотности вероятностей компонент х и у двумерной случайной величины (X у).
Пусть известна дифференциальная функция системы двух случайных величии. Найти дифференциальные функции каждой из составляющих.
По определению дифференциальной функции одномерной случайной величины
Приняв во внимание соотношения
найдем
Продифференцировав обе части этого равенства по x, получим
или
Аналогично находится дифференциальная функция
составляющей К:
дифференциальная функция одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от дифференциальной функции системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.