34. Зависимые и независимые случайные величины

две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы (X, Y) была равна произведению интегральных функций составляющих:

Доказательство а) Необходимость. Пусть X и Y независимы. Тогда события Х<х и Y<y независимы, следовательно,

то есть

б) Достаточность. Пусть F(x, y)=F₁(x)-F₂(y).

Отсюда

т. е. вероятность совмещения событий Х<х и Y<y равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины X и Y независимы.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы (X, Y) была равна произведению дифференциальных функций составляющих:

Доказательство, а) Необходимость.

Пусть X и Y — независимые непрерывные случайные величины. Тогда (на основании предыдущей теоремы)

Дифференцируя это равенство по х, затем по у, имеем

или (по определению дифференциальных функций двумерной и одномерной величин)

б) Достаточность. Пусть

Интегрируя это равенство по х и по у, получим

или

Отсюда (на основании предыдущей георемы) заключаем, что X и Y независимы.

35. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, пользуются и другими характеристиками, к числу которых относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Коррелщионным_мотнтом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и Y независимые случайные величины, то их отклонения X—М(Х) и Y—M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случай- случайных величин.

Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику — коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции - случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратнческих отклонений этих величин:

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величии равен нулю