30. Понятие дифференцируемой функции

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция дифференцируема при ; 2) график этой точки имеет касательную в точке , не параллельную оси ординат (т.е. с конечным угловым коэффициентом).

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть в некоторой точке области определения функции существует конечный предел Запишем приращение функции в виде и найдём

Следовательно, если , то и , а это означает, что функция непрерывна в рассматриваемой точке.

Таким образом, из дифференцируемости функции вытекает её непрерывность. Обратная теорема неверна, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках являются недифференцируемыми.

30. Формула тейлора

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n: ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ (26.1)

Для нахождения коэффициентов А0, А1 ,..., Аn продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'n(х)=А1+2А2(х-x0)+3A3(x-x0)2+...+nAn(x-x0)n-1,

Рn''(х)=2А2+2•3А3(х-х0)+...+n(n-1)Аn(х-х0)n-2,

Рn"'(х)=2•3А3+2•3•4А4(х-х0)+...+n(n-1)(n-2)Аn(х-х0)n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)...2•1А_n Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

П одставляя найденные значения A0,A1,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Рn(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р_n(х) степени n.

Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х0;х) такая, что справедлива формула Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Р_n(х)+R_n(x), где

называется многочленом Тейлора, а называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Rn(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Рn(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Рn(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).

При х0=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х0)+ƒ'(с)(х-х0) или ƒ(х)-ƒ(х0)=ƒ'(с)(х-x0), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х0)+ƒ'(х0)(х-х0) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы