10. Ранг матрицы

Пусть в матрице А размером m x n выбраны произвольно k строк и k столбцов (k<min(m,n)). Элемент, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом. А любой минор порядка r, отличный от нуля, - базисный минор.

• Если матрица нулевая – ранг равен 0

• Ранг А>= max(m,n)

Число ненулевых элементов в выделенном блоке, приведенном к треугольному виду, будет соответствовать рангу матрицы.

11. Обратная матрица

Для любой квадратной матрицы, определитель которой отличен от 0, можно найти обратную матрицу.

Обратная матрица – матрица, которая при произведении с данной матрицей дает единичную матрицу.

А^-1А=АА^-1=Е

detA^-1

Два метода вычисления:

1. Через алгебраические дополнения (метод присоединенной матрицы) – присоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А,

2. Методом элементарных преобразований – элементарными преобразованиями являются – перестановка строк/столбцов, умножение строки/столбца на число, отличное от нуля, прибавление к элементам строки/столбца соответствующих элементов другой строки/столбца, предварительно умноженных на некоторое число,

12. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы

Если существует обратная матрица к данной, то она единственная. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А^-1, тогда АА^-1=А^-1А=Е. предположим что найдется еще матрица В, обратная к А, тогда АВ=ВА=Е.

Рассмотрим:

Если ВАА^-1, то:

1. (ВА)А^-1=ЕА^-1=А^-1

2. В (АА^-1)=ВЕ=В

Следовательно В=А^-1, что говорит о существовании и единственности обратной матрицы.

13. Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия)

Система называется линейной, так как x в первой степени, алгебраической, так как переменные связаны умножением и сложением.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение. Решение системы – совокупность переменных x, если при подстановке в каждое уравнение системы получится тождество.

Система может иметь единственное или бесконечно много решений.

Система называется однородной, если все коэффициенты b_i=0

14. Методы решения

Метод Крамера (метод определителей) – применяется только для квадратной невырожденной матрицы.

A=a_ij, B=b_i, X=x_j ,

а – числовой коэффициент, b – свободный коэффициент, x – неизвестная переменная

Следовательно, X=A^-1B, откуда X_i=det_i / det, где det_i – определитель, получаемый из определителя det заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Матричный метод - AX=В – матричная форма записи.

AX=B, слева умножаем на A^-1, тогда X=A^-1B – матричный метод решения, который используется только для квадратной невырожденной системы.

AXB=C

A^-1AXB=A^-1C

XB=A^-1C

XBB^-1=A^-1CB^-1

X=A^-1CB^-1

Метод Гаусса – универсальный метод, составляется расширенная матрица (А|В), применяется метод последовательных исключений или элементарный преобразований:

1. Строки расширенной матрицы можно умножать на любой ненулевой коэффициент

2. Расширенные строки можно складывать друг с другом с любым коэффициентом

3. Перестановка уравнений

4. Можно переставлять столбцы в левой части расширенной матрицы, но запоминая нумерацию переменных

5. Вычеркивать тождественные и одинаковые уравнения

Возможные случаи:

1. K=n – единственное решение

2. K<n – бесконечно много решений, т.к. для записи ответа основных переменных используются свободные

3. Нет решения, если нулевая строка равна числу